Minor (aljabar linear)

determinan dari beberapa matriks persegi kecil, dipotong dari A dengan menghapus satu atau lebih dari baris dan kolomnya

Dalam aljabar linear, sebuah minor dari matriks adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris dan kolom matriks . Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi dan ilustrasiSunting

Minor pertamaSunting

Jika   adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri dalam baris ke-  dan kolom ke-  adalah determinan dari submatriks dibentuk dengan menghapus baris ke-  dan kolom ke- . Determinan ini juga disebut dengan minor  , atau sebuah minor pertama[1]. Bilangan ini seringkali dilambangkan  . Kofaktor   diperoleh dengan mengalikan minor oleh  .

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi ini, tinjau matriks 3 kali 3 berikut,

 

Untuk menghitung minor   dan kofaktor  , kita perlu menemukan determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus.

 

Jadi kofaktor dari entri   adalah

 

Definisi umumSunting

Misalkan   adalah sebuah matriks berukuran   dan   adalah sebuah bilangan bulat dengan  , dan  . Sebuah minor   dari   adalah determinan dari sebuah matriks berukuran   yang diperoleh dengan menghapus   baris dan   kolom dari  . Determinan ini juga disebut determinan minor dengan orde   dari  , atau jika  , disebut dengan determinan minor ke-  dari   (kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde"). Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks   yang diperoleh dari   dengan cara di atas (yakni dengan menghapus   baris dan   kolom), tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini.

Untuk matriks   di atas, terdapat   minor berukuran  . Minor dengan orde nol sering didefinisikan bernilai  . Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol hanyalah determinan dari matriks.[2][3]

Misalkan   dan   adalah suatu barisan terurut[4] dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai   dan  . Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor

 
yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebut adalah  ,  ,  ,  , atau   (dengan   melambangkan barisan indeks  , dan seterusnya). Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks   dan  , beberapa penulis[5] bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di   dan kolom yang indeksnya ada di  , sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke   dan   determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam   dan kolom dalam  .[2] Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris   dan kolom  . Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke-  dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif   standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.

KomplemenSunting

Komplemen,  , dari sebuah minor  , dari sebuah matriks persegi,  , dibentuk oleh determinan dari matriks   dari mana semua baris   dan kolom   dikaitkan dengan   telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota   hanyalah anggota itu.[6]

Penerapan minor dan kofaktorSunting

Ekspansi kofaktor dari determinanSunting

Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks   yaitu  , determinan  , dilambangkan  , bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan   maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-  memberikanː

Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-  memberikanː

 

Invers dari sebuah matriksSunting

Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi   disebut matriks kofaktor (juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks

 

Maka invers dari   transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan  ː

 

Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat (juga disebut adjoin klasik) dari  .

Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan   dan menjadi   barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini   adalah sebuat matriks  ). Maka[7]

 

di mana   dan   melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi  ,  , sehingga setiap indeks   muncul tepat sekali di salah satu   atau  , tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk   dan  ) dan   melambangkan determinan dari submatriks   dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks   dan kolom dari himpunan indeks  . Juga  . Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,

 

di mana   adalah vektor basis. Tindakan oleh   ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan

 

Tandanya bisa berhasil menjadi  , jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di   dan  .

Penerapan lainnyaSunting

Diberikan sebuah matriks   dengan entri-entri real (atau entri-entri dari setiap bidang lainnya) dan rank  , maka terdapat setidaknya satu minor   tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika  adalah sebuah matriks  ,   adalah himpunan bagian dari   dengan anggota  , dan   adalah himpunan bagian dari   dengan anggota  , maka kita menulis   untuk minor   pada   yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam   dan kolom dengan indeks dalam  .

  • Jika  , maka   disebut minor utama.
  • Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari   hingga  ), maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka (dari urutan  ) atau minor sudut (utama) (dari urutan  ).[3] Untuk sebuah matriks persegi  , terdapat minor utama terkemuka  .
  • Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.[3]
  • Untuk matriks Hermite, minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif. Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan   adalah sebuah matriks  ,   adalah sebuah matriks  ,   adalah himpunan bagian dari   dengan anggota   dan   adalah himpunan bagian dari   dengan anggota  . Maka

 

di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian   dari   dengan anggota  . Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Pendekatan aljabar multilinearSunting

Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam aljabar multilinear, menggunakan produk wedge, minor-  dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke- .

Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama   pada satu waktu, minor   muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor  . Sebagai contoh, minor   dari matriks

 

adalah   (dari dua baris pertama),   (dari baris pertama dan terakhir), dan   (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge

 

di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu bilinear dan bergantian,

 

dan antisimteris

 

kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi

 

di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.

Sebuah komentar tentang notasi yang berbedaSunting

Dalam beberapa buku, daripada kofaktor , istilah adjunct digunakan.[8] Bahkan, ini dilambangkan sebagai   dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː

 

Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.

 

Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, operator adjoin.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
  2. ^ a b Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  3. ^ a b c "Minor". Encyclopedia of Mathematics. 
  4. ^ dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.
  5. ^ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
  6. ^ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
  7. ^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. hlm. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6. 
  8. ^ Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

Pranala luarSunting