Penyalahgunaan notasi

Dalam matematika, penyalahgunaan notasi terjadi ketika seorang penulis menggunakan notasi matematika dengan cara yang tidak sepenuhnya benar secara formal, tetapi yang dapat membantu menyederhanakan eksposisi atau menyarankan intuisi yang benar (sambil meminimalkan kesalahan dan kebingungan pada saat yang sama). Namun, karena konsep kebenaran formal/sintaksis bergantung pada waktu dan konteks, notasi tertentu dalam matematika yang ditandai sebagai penyalahgunaan dalam satu konteks dapat secara formal. Penyalahgunaan notasi yang bergantung pada waktu dapat terjadi ketika notasi baru diperkenalkan ke suatu teori beberapa waktu sebelum teori tersebut pertama kali diformalkan; ini dapat diperbaiki secara formal dengan memperkuat dan/atau memperbaiki teori. Penyalahgunaan notasi harus dikontraskan dengan penyalahgunaan notasi, yang tidak memiliki presentasi dari notasi sebelumnya dan harus dihindari (seperti penyalahgunaan konstanta integral).

Konsep terkait adalah penyalahgunaan bahasa atau penyalahgunaan terminologi, di mana istilah bukan notasi disalahgunakan. Penyalahgunaan bahasa adalah ekspresi yang hampir sama untuk pelanggaran yang pada dasarnya tidak bersifat notasional. Misalnya, sementara kata representasi dengan tepat menunjukkan homomorfisme grup dari grup G ke GL( V ), di mana V adalah ruang vektor, biasanya menyebut V "sebagai representasi dari G". Penyalahgunaan bahasa umum lainnya terdiri dari mengidentifikasi dua objek matematika yang berbeda, tetapi isomorfik kanonik. Contoh lain termasuk mengidentifikasi fungsi konstan dengan nilainya, mengidentifikasi grup dengan operasi biner dengan nama himpunan mendasarinya, atau mengidentifikasi ke $\mathbb {R} ^{3}$ ruang Euklides dari dimensi tiga dilengkapi dengan sistem koordinat Kartesius.

Contoh

Objek matematika terstruktur

Banyak objek matematika terdiri dari satu himpunan, sering disebut himpunan yang mendasari, dilengkapi dengan beberapa struktur tambahan, seperti operasi matematika atau topologi. Ini adalah penyalahgunaan notasi yang umum untuk menggunakan notasi yang sama untuk himpunan yang mendasari dan objek terstruktur (fenomena yang dikenal sebagai penekanan parameter ). Sebagai contoh, $\mathbb {Z}$ dapat menunjukkan himpunan bilangan bulat s, kelompok dari bilangan bulat bersama dengan penjumlahan, atau gelanggang dari bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian. Secara umum, tidak ada masalah dengan hal ini jika objek yang dirujuk dipahami dengan baik, dan menghindari penyalahgunaan notasi seperti itu bahkan dapat membuat teks matematika dan lebih sulit. Ketika penyalahgunaan notasi ini mungkin membingungkan, seseorang dapat membedakan antara struktur ini dengan menunjukkan $(\mathbb {Z} ,+)$ kelompok bilangan bulat dengan penjumlahan, dan $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ gelanggang bilangan bulat.

Maka, ruang topologi terdiri dari himpunan X (himpunan yang mendasari) dan topologi ${\mathcal {T}},$ yang ditandai dengan satu set himpunan bagian dari X (himpunan terbuka). Paling sering, seseorang hanya mempertimbangkan satu topologi pada X , jadi biasanya tidak ada masalah dalam merujuk X sebagai himpunan yang mendasari, dan pasangan terdiri dari X dan topologinya ${\mathcal {T}}$, meskipun secara teknis mereka adalah objek matematika yang berbeda. Namun demikian, dapat terjadi pada beberapa kesempatan bahwa dua topologi berbeda dipertimbangkan secara bersamaan pada himpunan yang sama. Dalam hal ini, menggunakan notasi seperti $(X,{\mathcal {T}})$ dan $(X,{\mathcal {T}}')$ untuk membedakan antara ruang topologi yang berbeda.

Notasi fungsi

Seseorang mungkin menemukan, di banyak buku teks, kalimat seperti "Maka f(x) be a function ...". Ini adalah penyalahgunaan notasi, karena nama fungsinya adalah f, dan f(x) biasanya menunjukkan nilai fungsi f untuk elemen x domainnya. Frasa yang benar adalah "Misalkan f menjadi fungsi dari variabel x ..." atau "Maka x f(x) menjadi fungsi ..." Penyalahgunaan notasi ini banyak digunakan, karena menyederhanakan perumusan, dan penggunaan sistematis dari notasi yang benar dengan cepat menjadi terlalu berlebihan.

Penyalahgunaan notasi yang serupa terjadi dalam kalimat seperti "Maka kita pertimbangkan fungsinya x² + x + 1...", jadi x² + x + 1 bukanlah sebuah fungsi. Fungsinya adalah operasi yang mengaitkan x² + x + 1 menjadi x , dilambangkan sebagai x ↦ x² + x + 1. Namun demikian, penyalahgunaan notasi ini banyak digunakan, karena ini dapat membantu seseorang menghindari kesombongan sementara pada umumnya tidak membingungkan.

Kesetaraan vs. isomorfisme

Banyak struktur matematika didefinisikan melalui properti karakterisasi (sering kali sifat universal). Setelah properti yang diinginkan ini ditentukan, mungkin ada berbagai cara untuk membangun struktur, dan hasil yang sesuai adalah objek yang berbeda secara formal, tetapi memiliki properti yang persis sama (yaitu, isomorfik). Karena tidak ada cara untuk membedakan objek isomorfik ini melalui propertinya, sudah menjadi standar untuk menganggapnya sama, bahkan jika ini secara formal salah.

Salah satu contohnya adalah Produk Kartesius, yang sering dianggap asosiatif:

$(E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G$.

Tetapi secara tegas ini tidak benar: jika $x\in E$, $y\in F$ and $z\in G$, identitas $((x,y),z)=(x,(y,z))$ maka $(x,y)=x$ dan $z=(y,z)$, sehingga $((x,y),z)=(x,y,z)$ tidak berarti apa-apa. Namun, persamaan ini dapat dilegitimasi dan dibuat ketat dalam teori kategori, menggunakan gagasan isomorfisme natural.

Contoh lain dari pelanggaran serupa terjadi dalam pernyataan seperti "ada dua grup non-Abelian dari urutan 8", yang lebih tegasnya berarti "ada dua kelas isomorfisme dari kelompok non-Abelian dari ordo 8".

Subjektivitas

Istilah "penyalahgunaan bahasa" dan "penyalahgunaan notasi" bergantung pada konteksnya. Penulisan "f: A → B" untuk fungsi parsial dari A ke B hampir selalu merupakan penyalahgunaan notasi, tetapi tidak dalam konteks teori kategori, di mana f dapat dilihat sebagai morfisme dalam kategori himpunan dan fungsi parsial.

Lihat pula

• Notasi matematika
• Misnomer