Sifat universal

Untuk kegunaan lain, lihat Universal (disambiguasi).

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, sifat universal adalah sifat penting yang dipenuhi oleh morfisme universal (lihat Definisi Formal). Morfisme universal juga dapat dianggap lebih abstrak sebagai objek awal atau terminal dari kategori koma (lihat Relasi dengan Kategori Koma). Properti universal terjadi hampir di semua tempat dalam matematika, dan karenanya konsep teoretis kategori yang tepat membantu menunjukkan persamaan antara berbagai cabang matematika.

Diagram khas dari definisi morfisme universal.

Sifat universal dapat digunakan di bidang matematika lain secara implisit, tetapi definisi abstrak dan dipelajari dalam teori kategori.

Artikel ini memberikan perawatan umum tentang sifat universal. Untuk memahami konsepnya, ada baiknya mempelajari beberapa contoh terlebih dahulu, yang jumlahnya banyak: semua objek gratis, produk langsung dan jumlah langsung, grup bebas, kisi bebas, grup Grothendieck, komplesi Dedekind–MacNeille, topologi produk, komplikasi Stone–Čech, produk tensor, limit invers dan limit langsung, kernel dan kokernel, kembali, keluar dan ekualiser.

Motivasi

Sebelum memberikan definisi formal tentang sifat universal, kami menawarkan beberapa motivasi untuk mempelajari konstruksi.

• Detail konkret dari suatu konstruksi, tetapi jika konstruksinya memenuhi sifat universal, detail tersebut: semua yang perlu diketahui tentang konstruksi sudah terkandung dalam sifat universal. Bukti sering kali menjadi singkat dan elegan jika menggunakan sifat universal daripada detail konkret. Misalnya, aljabar tensor dari sebuah ruang vektor agak sulit untuk dibuat, tetapi menggunakan sifat universal membuatnya lebih mudah untuk ditangani.
• Properti universal mendefinisikan objek secara hingga isomorfisme. Oleh karena itu, salah satu strategi untuk membuktikan bahwa dua objek isomorfik adalah dengan menunjukkan bahwa sifat universal yang sama.
• Konstruksi universal bersifat fungsional: jika seseorang dapat melaksanakan konstruksi untuk setiap objek dalam kategori C maka seseorang memperoleh funktor pada C . Lebih lanjut, functor ini adalah adjoin kanan atau kiri ke functor U yang digunakan dalam definisi sifat universal.
• Sifat universal terjadi di mana-mana dalam matematika. Dengan memahami sifat abstraknya, seseorang memperoleh informasi tentang semua konstruksi ini dan dapat menghindari pengulangan analisis yang sama untuk setiap contoh individu.

Definisi formal

Untuk memahami definisi konstruksi universal, penting untuk melihat contoh. Konstruksi universal tidak ditentukan begitu saja, tetapi ditentukan setelah matematikawan mulai memperhatikan pola dalam banyak konstruksi matematika (lihat Contoh di bawah). Oleh karena itu, definisi tersebut mungkin tidak masuk akal bagi seseorang pada awalnya, tetapi akan menjadi jelas ketika seseorang menggabungkannya dengan contoh konkret.

Maka $F:C\to D$ menjadi fungsi antara kategori $C$ dan $D$. Selanjutnya, misalkan $X$ menjadi objek $D$, sedangkan $A$ dan $A'$ adalah objek $C$.

Jadi, funktor $F$ memetakan $A$, $A'$ dan $h$ pada $C$ ke $F(A)$, $F(A')$ dan $F(h)$ dalam $D$.

Morfisme universal dari $X$ hingga $F$ adalah $(A,u:X\to F(A))$ dengan $D$ yang memiliki sifat berikut, biasanya disebut sebagai sifat universal. Untuk morfisme bentuk $f:X\to F(A')$ di $D$, terdapat morfisme $h:A\to A'$ sedemikian rupa sehingga diagram berikut perjalanan:

Diagram khas dari definisi morfisme universal.

Kita bisa menggandakan konsep kategoris ini. Sebuah morfisme universal dari $F$ hingga $X$ adalah $(A,u:F(A)\to X)$ yang memenuhi sifat universal berikut. Untuk morfisme bentuk $f:F(A')\to X$ in $D$, morfisme $h:A'\to A$ sedemikian rupa sehingga diagram berikut ini berjalan:

Panah terpenting di sini adalah $u:F(A)\to X$ yang menetapkan sifat universal.

Perhatikan bahwa di setiap definisi, panah dibalik. Kedua definisi tersebut diperlukan untuk menjelaskan konstruksi universal yang muncul dalam matematika; tetapi mereka juga muncul karena dualitas inheren yang ada dalam teori kategori. Dalam kedua kasus, bahwa $(A,u)$ di atas memenuhi sifat universal.

Sebagai catatan tambahan, beberapa penulis menyajikan diagram kedua sebagai berikut.

Representasi diagram alternatif dari definisi kedua dari morfisme universal.

Tentu saja, diagramnya sama; memilih cara menulis adalah soal selera. Mereka hanya berbeda dengan rotasi 180°. Akan tetapi, diagram asli lebih disukai, karena menggambarkan dualitas antara dua definisi, karena jelas bahwa panah invers dalam setiap kasus.

Relasi dengan Kategori Koma

Morfisme universal dapat dijelaskan lebih ringkas sebagai objek awal dan terminal dalam kategori koma.

Maka $F:C\to D$ menjadi funktor dan $X$ sebuah objek dari $D$. Kemudian bahwa kategori koma $(X\downarrow F)$ adalah kategori dimana

• Objek adalah pasangan bentuk $(B,f:X\to F(B))$, di mana $B$ adalah sebuah objek $C$
• Morfisme dari $(B,f:X\to F(B))$ ke $(B',f':X\to F(B'))$ morfisme $h:B\to B'$ dengan $C$ sehingga diagram:

Morfisme dalam kategori koma diberikan oleh morfisme $h:B\to B'$ yang juga membuat diagram.

Sekarang objek $(A,u:X\to F(A))$ dengan $(X\downarrow F)$ adalah inisial. Kemudian untuk setiap objek $(A',f:X\to F(A'))$, morfisme $h:A\to A'$ sehingga diagram berikut ini.

Ini menunjukkan hubungan antara diagram universal menjadi objek awal dalam kategori koma.

Perhatikan bahwa persamaan berarti diagramnya sama. Juga perhatikan bahwa diagram di sisi kanan persamaan adalah sama persis dengan yang ditawarkan dalam mendefinisikan morfisme universal dari $X$ ke $F$. Oleh karena itu, kita melihat bahwa morfisme universal dari $X$ hingga $F$ setara dengan objek awal dalam kategori koma $X\downarrow F$.

Sebaliknya, bahwa kategori koma $(F\downarrow X)$ adalah kategori dimana

• Objek adalah formulir $(B,f:F(B)\to X)$ di mana $B$ adalah sebuah objek $C$
• Morfisme dari $(B,f:F(B)\to X)$ ke $(B',f':F(B')\to X)$ morfisme $h:B\to B'$ dalam $C$ sedemikian rupa sehingga diagram bolak-balik:

Ini hanya menunjukkan definisi morfisme dalam kategori koma.

Misalkan $(A,u:F(A)\to X)$ adalah objek terminal $(F\downarrow X)$. Kemudian untuk setiap objek $(A',f:F(A')\to X)$, morfisme $h:A'\to A$ sehingga diagram berikut.

Ini menunjukkan bahwa objek terminal dalam kategori koma tertentu sesuai dengan morfisme universal.

Diagram di sisi kanan persamaan adalah diagram yang sama yang digambarkan saat mendefinisikan morfisme universal dari $F$ ke $X$. Oleh karena itu, morfisme universal dari $F$ hingga $X$ sesuai dengan objek terminal dalam kategori koma $F\downarrow X$.

Contoh

Di bawah ini adalah beberapa contoh, untuk menyoroti gagasan umum. Pembaca dapat membuat banyak contoh lain dengan membaca artikel yang disebutkan dalam pendahuluan.

Tensor aljabar

Misalkan $C$ menjadi kategori ruang vektor $K$-Vekt di atas bidang $K$ dan biarkan $D$ menjadi kategori aljabar $K$-Alj di atas $K$ (diasumsikan sebagai unital dan asosiatif). Maka

$U$ : $K$-Alj → $K$-Vekt

menjadi funktor fogetful yang menetapkan ruang vektor yang mendasarinya ke setiap aljabar.

Diberikan ruang vektor $V$ di atas $K$ kita bisa membuat tensor algebra $T(V)$. Aljabar tensor dicirikan oleh fakta:

Peta linear dari $V$ hingga aljabar $A$ dapat secara unik diperluas ke homomorfisme aljabar dari $T(V)$ to $A$.

Pernyataan ini adalah properti awal aljabar tensor karena menyatakan fakta bahwa $(T(V),i)$, dimana $i:V\to U(T(V))$ adalah peta inklusi, adalah morfisme universal dari ruang vektor $V$ ke funktor $U$.

Karena konstruksi ini bekerja untuk setiap ruang vektor $V$, kami menyimpulkan bahwa $T$ adalah funktor dari $K$-Vect ke $K$-Alj. Ini berarti $T$ adalah left adjoint ke forgetful functor $U$.

Sejarah

Sifat universal dari berbagai konstruksi topologi disajikan oleh Pierre Samuel pada tahun 1948. Mereka kemudian digunakan secara ekstensif oleh Bourbaki. Konsep yang terkait erat dari fungsi adjoint diperkenalkan secara independen oleh Daniel Kan pada tahun 1958.

Lihat pula

• Objek bebas
• Transformasi alami
• Funktor adjoin
• Monad (teori kategori)
• Varietas aljabar
• Kategori tertutup Kartesius

Referensi

• Paul Cohn, Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-98403-8. 
• Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra: vol 1 Basic category theory (1994) Cambridge University Press, (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) ISBN 0-521-44178-1
• N. Bourbaki, Livre II : Algèbre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
• Jacobson. Basic Algebra II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X

Pranala luar

• nLab, sebuah proyek wiki tentang matematika, fisika dan filsafat dengan penekanan pada sudut pandang n-kategorikal
• André Joyal, CatLab, proyek wiki yang didedikasikan untuk eksposisi matematika kategorikal
• Hillman, Chris. "A Categorical Primer". CiteSeerX 10.1.1.24.3264 :  pengantar formal untuk teori kategori.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Category Theory"—by Jean-Pierre Marquis. Extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John, 1996,"The Tale of n-categories." Pengenalan informal untuk kategori tingkat tinggi.
• WildCats adalah paket teori kategori untuk Mathematica. Manipulasi dan visualisasi objek, morfisme, kategori, funktor, transformasi natural, sifat universal.
• The catsters, saluran YouTube tentang teori kategori.
• Video archive rekaman pembicaraan yang relevan dengan kategori, logika dan dasar-dasar fisika.
• Interactive Web page yang menghasilkan contoh konstruksi kategoris dalam kategori himpunan hingga.