Himpunan kuasa


Dalam matematika, himpunan kuasa dari sebuah himpunan merupakan himpunan dari semua subhimpunan , termasuk himpunan kosong dan itu sendiri.[1] Dalam teori himpunan aksiomatik (sebagai dikembangkan, contohnya, dalam aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan didalilkan oleh aksioma himpunan kuasa.[2] Himpunan kuasa dengan berbagai cara dilambangkan sebagai , , , (menggunakan "p Weierstrass"), atau . Notasi digunakan karena diberikan setiap himpunan dengan tepat dua unsur, himpunan kuasa dapat diidentifikasi dengan himpunan semua fungsi dari hingga himpunan itu.[3]

Unsur dari himpunan kuasa dari himpunan berurutan terhadap inklusi.

Suatu himpunan bagian disebut sebuah keluarga himpunan pada .

ContohSunting

Jika   merupakan himpunan  , maka subhimpunan dari   adalah

  •   (juga dilambangkan   atau  , himpunan kosong atau himpunan nol)[4]
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

dan karena itu, himpunan kuasa dari   adalah  .[5]

Sifat-sifatSunting

Jika   merupakan sebuah himpunan hingga dengan   unsur, maka bilangan himpunan bagian dari   adalah  . Fakta ini, yang merupakan motivasi untk notasi  , dapat didemonstrasikan dengan sederhana sebagai berikut,

Pertama, urutan unsur   dalam setiap perilaku. Kita tulis setiap subhimpunan   dalam susunan   dimana  , dapat mengambil nilai   atau  . Jika  , unsur ke-  dari   ada di subhimpunan; jikta tidak, unsur ke-  tidak ada di subhimpunan. Dengan jelas bilangan dari subhimpunan yang berbeda yang dapat dikonstruksi cara ini adalah   sebagai  .

Argumen diagonal Cantor menunjukkan bahwa himpuna pangkat dari sebuah himpunan (apakah takhingga atau tidak) selalu memiliki kekardinalan tertinggi sempurna daripada himpunan itu sendiri (atau secara informal, himpunan kuasa harus lebih besar daripada himpunan yang asli). Teorema Cantor menunjukkan bahwa himpunan kuasa dari sebuah himpunan takhingga yang tercacah merupakan takterhingga yang taktercacah. Himpunan kuasa dari himpunan bilangan asli dapat ditaruh dalam sebuah padanan satu-ke-satu dengan himpunan bilangan real (lihat Kekardinalan dari kontinum).

Himpunan kuasa dari sebuah himpunan  , bersama dengan operasi gabungan, irisan, dan komplemen, dapat diperlihatkan sebagai contoh prototipikal dari sebuah aljabar Boole. Faktanya, satunya dapat menunjukkan bahwa setiap aljabar Boole hingga merupakan isomorfik dengan aljabar Boole dari himpunan kuasa dari sebuah himpunan hingga. Untuk aljabar Boole takhingga, ini tidak berlangsung benar, tetapi setiap aljabar Boole takhingga dapat diwakili sebagai sebuah subaljabar dari sebuah aljabar Boole himpunan kuasa (lihat teorema wakilan Stone).

Himpunan kuasa dari sebuah himpunan   membentuk sebuah grup abel ketika ditinjau dengan operasi beda simetrik (dengan himpunan kosong sebagai unsur identitas dan setiap himpunan menjadi inversnya sendiri), dan sebuah monoid komutatif ketika dianggap dengan operasi irisan. Ini dapat karenanya ditunjukkan, dengan membuktikan hukum distributif, bahwa himpunan kuasa dianggpa bersama dengan kedua operasi-operasi ini membentuk sebuah gelanggang Boole.

Mewakili himpunan bagian sebagai fungsiSunting

Dalam teori himpunan, XY merupakan himpunan dari semua fungsi dari   ke  . Karena "2" dapat didefinisikan sebagai   (lihat, sebagai contoh, ordinal von Neumann),   (yaitu,  ) merupkan himpunan dari semua fungsi dari   ke  . Dengan mengidentifikasi sebuah fungsi di   dengan padanan pracitra dari  , kita lihat bahwa terdapat sebuah bijeksi di antara   dan  , dimana setiap fungsi merupakan fungsi karakteristik dari himpunan bagian dalam   dengan yang mana ini diidentifikasikan. Karena itu   dan   dapat dianggap himpunan secara teoretis yang identis. (Dengan demikian terdapat dua motivasi notasional yang berbeda untuk melambangkan himpunan kuasa oleh  : fakta bahwa fungsi wakilan himpunan bagian ini membuatnya menjadi sebuah kasus yang khusus dari notasi   dan sifatnya, seperti yang disebutkan di atas, bahwa  ).

Gagasan ini dapat berlaku untuk contoh yang di atas, yang mana  , menjadi keisomorfan dengan bilangna biner dari   ke  , dengan   menjadi bilangan unsur dalam himpunan. Di  , "1" dalam posisi berpadanan ke lokasi dalam himpunan yang disebutkan  , mengindikasikan kehadiran dari unsur. Jadi  .

Untuk seluruh himpunan kuasa  , kita mendapatkan

Himpunan bagian Barisan digit Interpretasi biner Setara desimal
       
       
       
       
       
       
       
       

Seperti sebuah pemetaan bijektif   ke bilangan bulat adalah sembarang, jadi wakilan himpunan bagian   ini tidak tunggal, tetapi urutan pemilahan dari himpunan yang dihitung tidak mengubah kekardinalannya.

Namun, seperti wakilan biner hingga hanya mungkin jika  dapat dihitung. Ini mungkin bahkan jika   memiliki sebuah kekardinalan takhingga, seperti himpunan bilangan ublat atau rasional, tetapi bukan untuk contohnya jika   merupakan himpunan bilangan real, dalam hal ini kita tak dapat menghitung semua bilangan irasional untuk menentukannya sebuah lokasi hingga yang didefinisikan dalam sebuah himpunan terurut.

Relasi dengan teorema binomialSunting

Himpunan kuasa berkaitan dengan teorema binomial. Jumlah himpunan bagian dengan   unsur dalam himpunan kuasa sebuah himpunan dengan   unsur diberikan oleh jumlah kombinasi,  , juga disebut koefisien binomial.

Sebagai contoh, himpunan kuasa dari sebuah himpunan dengan tiga unsur memiliki:

  •   subhimpunan dengan 0 unsur (subhimpunan kosong),
  •   subhimpunan dengan 1 unsur (subhimpunan himpunan satuan),
  •   subhimpunan dengan 2 unsur (komplemen dari subhimpunan himpunan satuan),
  •   subhimpunan dengan 3 unsur (himpunan asal itu sendiri).

Menggunakan hubungan ini, kita dapat menghitung   menggunakan rumus:

 

Oleh karena itu, salah satunya dapat menyimpulkan identitas berikut, asumsi  .

 

Definisi rekursifSunting

Jika   merupakan sebuah himpunan hingga, maka sebuah definisi rekursif melanjutkan sebagai berikut: 

  • Jika  , maka  .
  • Jika tidak, misalkan   dan  ; maka  

Dalam kata-kata:

  • Himpuna kuasa dari himpunan kosong adalah sebuah himpunan satuan yang hanya satu unsur merupakan himpunan kosong.
  • Untuk sebuah himpunan takkosong  , misalkan   menjadi suatu unsur dari himpunan   adalah komplemen nisbinya; maka himpunan kuasa   merupakan sebuah gabungan himpunan kuasa   dan sebuah himpunan kuasa   yang setiap unsur diperpanjang dengan unsur  .

Subhimpunan kekardinalan terbatasSunting

Himpunan dari subhimpunan   kekardinalan lebih kecil atau sama dengan   terkadang dilambangkan oleh   atau  , dan himpunan dari subhimpunan dengan kekardinalan benar-benar lebih kecil daripada   terkadang dilambangkan   atau  . Dengan cara yang serupa, himpunan dari subhimpunan takkosong   dapat dilambangkan oleh   atau  .

Objek kuasaSunting

Sebuah himpunan dapat dianggap sebagai sebuah aljabar tidak mempunyai operasi taktrivial atau mendefinisikan persamaan-persamaan. Dari perspektif ini, gagasan dari himpunan kuasa   sebagai himpunan dari subhimpunan   merampat secara alami ke subaljabar dari sebuah struktur aljabar atau aljabar.

Himpunan kuasa dari sebuah himpunan, ketika terurut oleh inklusi, selalu sebuah aljabar Boole atomik lengkap, dan setiap aljabar Boole atomik lengkap muncul sebagai kekisi dari sebuah subhimpunan dari suatu himpunan. Rampatnya ke aljabar sembarang adalah bahwa himpunan subaljabar dari sebuah aljabar, lagi terurut oleh inklusi, selalu sebuah kekisi aljabar, dan setiap kekisi aljabar muncul sebagai kekisi subaljabar dari suatu aljabar. Jadi dalam kaitan tersebut, subaljabar berperilaku sejalan dengan subhimpunan.

Namun, terdapat dua sifat yang penting mengenai subhimpunan yang tidak terbawa ke subaljabar secara umum. Pertama, meskipun subhimpunan dari sebuah himpunan membentuk sebuah himpunan (serta sebuah kekisi), dalam suatu kelas tidak dapat menjadi mungkin mengatur subaljabar dari sebuah aljabar sebagai sendirinya sebuah aljabar dalam kelas, meskipun mereka dapat selalu teratur sebagai sebuah kekisi. Kedua, sedangkan subhimpunan dari sebuah himpunan ada di bijeksi dengan fungsi dari himpunan tersebut ke himpunan  , tidak ada jaminan bahwa sebuah kelas dari aljabar berisi sebuah aljabar yang dapat memainkan peran 2 dalam hal ini.

Kelas aljabar tertentu menikmati kedua sifat-sifat ini. Sifat pertama lebih umum, kasus memiliki keduanya cukup langka. Salah satu kelas yang memiliki keduanya karena multigraf. Diberikan dua multigraf   dan  , sebuah kehomomorfan   terdiri dari dua fungsi, salah satunya memetakan puncak ke puncak dan lainnya memetakan sisi ke sisi. Himpunan   kehomomorfan dari   ke   dapat kemudian diatur sebagai graf yang puncak dan sisi masing-masing adalah fungsi puncak dan sisi muncul dalam himpunan itu. Selain itu, subgraf sebuah mutligraf   ada di dalam bijeksi dengan kehomomorfan graf dari   ke multigraf   didefinisikan sebgai graf berarah lengkap pada dua puncak (karena itu empat sisi, yaitu dua gelung-diri dan dua sisi lagi membentuk sebuah siklus) ditambahkan dengan sebuah sisi kelima, yaitu sebuah gelung-diri kedua pada salah satu dari puncak. Oleh karena itu, kita dapat menyusun subgraf   sebagai multigraf  , disebut objek kuasa  .

Apa yang khusus mengenai sebuah multigraf sebagai sebuah aljabar adalah bahwa operasinya adalah uner. Sebuah multigraf memiliki dua pemilahan unsur membentuk sebuah himpunan   dari puncak dan   dari sisi, dan memiliki dua operasi uner   memberikan sumber puncak (awal) dan sasaran (akhir) dari setiap sisi. Sebuah aljabar semua yang operasi-operasinya adalah uner disebut sebuah pragemal. Setiap kelsa mengenai pragemal berisi sebuah pragemal   yang memainkan peran untuk subaljabar yang 2 memainkan untuk subhimpunan. Seperti kelas merupakan sebuah kasus yang khusus dari gagasan umum lainnya mengenai topos elementer sebagai sebuah kategori itu adalah tertutup (dan selain itu tertutup Cartesius) dan memiliki sebuah objek  , disebut sebuah penggolongan subobjek. Meskipun istilah "objek kuasa" terkadang digunakan secara muradif dengan objek eksponensial  , dalam teori topos   diperlukan menjadi  .

Fungtor dan kuantorSunting

Dalam teori kategori dan teori mengenai topoi elementer, kuantor semesta dapat dipahami sebagai adjoin kanan dari sebuah fungtor di antara himpunan kuasa, citra balikan fungtor dari sebuah fungsi di antara himpunan-himpunan; dengan demikian, kuantifikasi eksistensial merupakan adjoin kiri.[6]

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-05. 
  2. ^ Devlin 1979, hlm. 50
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-05. 
  4. ^ "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-05. 
  5. ^ Puntambekar 2007, hlm. 1–2
  6. ^ Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, (1992) Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 See page 58

Daftar pustakaSunting

Pranala luarSunting