Dalam logika proposional dan aljabar Boolean, Hukum De Morgan[1][2][3], aturan De Morgan, atau teorema De Morgan[4] adalah sepasang aturan penarikan kesimpulan yang menghubungkan konjungsi dan disjungsi melalui negasi. Aturan ini dinamai dari Augustus De Morgan, seorang matematikawan abad ke-19 berkebangsaan Inggris.

Hukum De Morgan yang digambarkan melalui diagram Venn. Pada setiap kasus, hasil operasi himpunannya adalah himpunan titik-titik yang berwarna biru

Hukum De Morgan dapat dinyatakan dalam bahasa Indonesia sebagai:

  • Negasi dari disjungsi adalah konjungsi dari negasi
  • Negasi dari konjungsi adalah disjungsi dari negasi

atau

  • Komplemen dari gabungan dua himpunan sama dengan irisan dari komplemen kedua himpunan tersebut
  • Komplemen dari irisan dua himpunan sama dengan gabungan dari komplemen kedua himpunan tersebut

atau

  • bukan ( atau ) = (bukan ) dan (bukan )
  • bukan ( dan ) = (bukan ) atau (bukan )

dengan " atau " menyatakan disjungsi inklusif (yang berarti setidaknya satu dari dari atau bernilai benar), dan bukan logika disjungsi eksklusif (yang berarti tepat satu dari dari atau bernilai benar).

Dalam teori himpunan dan aljabar Boolean, Hukum De Morgan dapat ditulis secara formal sebagai dengan

  • dan adalah sembarang himpunan
  • menyatakan komplemen dari himpunan
  • menyatakan operasi irisan pada himpunan
  • menyatakan operasi gabungan pada himpunan
Pembuktian bahwa ekuivalen dengan menggunakan tabel kebenaran.[5]

Dalam bahasa formal, Hukum De Morgan dapat ditulis secara formal sebagai dengan

Hukum De Morgan dengan operasi selisih himpunan.

Bentuk lain dari Hukum De Morgan dapat dinyatakan sebagai berikut Penerapan dari aturan ini salah satunya ialah menyederhanakan ekspresi logika pada program komputer dan desain rangkaian digital. Hukum De Morgan adalah contoh dari suatu konsep umum dari dualitas matematika.

Notasi Formal

sunting

Dengan menggunakan notasi sekuensi, maka aturan negasi dari konjungsi dapat ditulis sebagai berikut :   Dengan cara serupa, aturan negasi dari disjungsi dapat ditulis dalam notasi sekuensi sebagai berikut :  

Dalam bentuk aturan, negasi dari konjungsi dapat ditulis sebagai berikut :

     

Dengan cara serupa, negasi dari konjungsi dapat ditulis sebagai berikut :

     

dan saat dituliskan sebagai suatu teorema dalam logika proposisional, maka Hukum De Morgan dapat dinyatakan sebagai   dengan   dan   adalah proposisi yang diekspresikan dalam suatu sistem formal. Hukum De Morgan yang diperumum menawarkan ekuivalensi saat menegasikan konjungsi atau disjungsi yang melibatkan banyak suku. Jika   menyatakan proposisi ke- , maka Hukum De Morgan yang diperumum ialah  

Teori himpunan

sunting

Dalam teori himpunan, Hukum De Morgan seringkali dinyatakan sebagai "gabungan dan irisan ditukar saat dikomplemenkan",[6] yang dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut :   dengan

  •   dan   adalah sembarang himpunan
  •   menyatakan komplemen dari himpunan  
  •   menyatakan operasi irisan pada himpunan
  •   menyatakan operasi gabungan pada himpunan

Hukum De Morgan juga dapat diperumum untuk sembarang jumlah himpunan, yaitu   dengan   adalah suatu himpunan indeks (bisa himpunan terhitung, maupun himpunan tak terhitung)

Rekayasa

sunting

Dalam aljabar Boolean, teknik listrik dan teknik komputer, Hukum De Morgan biasa ditulis sebagai berikut :   dengan

Pencarian teks

sunting

Hukum De Morgan sering digunakan dalam pencarian teks menggunakan operator Boolean DAN, ATAU, dan BUKAN (TIDAK). Misalkan terdapat beberapa dokumen yang memuat kata "merah" dan "biru". Hukum De Morgan menyatakan bahwa kedua pencarian ini akan menghasilkan dokumen-dokumen yang sama :

Pencarian A : BUKAN (merah ATAU biru)
Pencarian B : (BUKAN merah) DAN (BUKAN biru)

Dokumen-dokumen yang memuat kata "Merah" atau "biru" dapat dikelompokkan menjadi empat kategori, yaitu :

Kategori 1 : Hanya memuat kata "merah"
Kategori 2 : Hanya memuat kata "biru"
Kategori 3 : Memuat kata "merah" dan juga "biru"
Kategori 4 : Tidak memuat kata "merah" maupun "biru"

Di satu sisi, jelas bahwa pencarian "(merah ATAU biru)" akan menampilkan kategori 1, 2, dan 3. Akibatnya, negasi dari pencarian tersebut (yaitu hasil pencarian A) akan menampilkan dokumen-dokumen lainnya, yaitu dokumen-dokumen pada kategori 4.

Di sisi lain, pencarian "(BUKAN merah)" akan menampilkan kategori 2 dan kategori 4, dan pencarian "(BUKAN biru)" akan menampilkan kategori 1 dan kategori 4. Dengan menerapkan operator DAN pada kedua pencarian ini (yaitu pencarian B), maka hasilnya akan menampilkan hasil yang sama-sama dijumpai pada kedua pencarian ini, yaitu dokumen-dokumen pada kategori 4.

Argumentasi serupa juga dapat diterapkan pada dua pencarian berikut

Pencarian C : BUKAN (merah DAN biru)
Pencarian D : (BUKAN merah) ATAU (BUKAN biru)

yang sama-sama menampilkan dokumen-dokumen pada kategori 1, 2, dan 4

Bukti formal

sunting

Disini, akan digunakan notasi   untuk menyatakan komplemen dari himpunan  , sama seperti penggunaan pada § Teori himpunan. Untuk membuktikan bahwa  , maka

Bagian pertama

sunting

Akan dibuktikan bahwa  . Diambil sembarang elemen  . Perhatikan bahwa  

Penjelasan baris kedua

Akan dibuktikan bahwa   akan mengakibatkan   dan   melalui kontradiksi.

  1. Andaikan  , maka  . Akan tetapi, hal itu mustahil terjadi, sebab diperoleh informasi bahwasanya   pada baris pertama di atas. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian di awal (bahwasanya  ) bernilai salah. Akibatnya, diperoleh  .
  2. Andaikan  , maka  . Akan tetapi, hal itu mustahil terjadi, sebab diperoleh informasi bahwasanya   pada baris pertama di atas. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian di awal (bahwasanya  ) bernilai salah. Akibatnya, diperoleh  .

Dari dua kasus di atas, maka terbukti bahwa   akan mengakibatkan   dan  .

sehingga terbukti bahwa  .

Bagian kedua

sunting

Akan dibuktikan bahwa  . Diambil sembarang elemen  . Perhatikan bahwa  

Penjelasan baris ketiga

Akan dibuktikan bahwa   dan   akan mengakibatkan   melalui kontradiksi. Andaikan  , maka menurut definisi operasi gabungan pada himpunan, diperoleh   atau  .

  1. Jika  , maka hal tersebut kontradiksi dengan hasil pada baris kedua di atas (bahwasanya  )
  2. Jika  , maka hal tersebut kontradiksi dengan hasil pada baris kedua di atas (bahwasanya  )

Oleh karena terjadi kontradiksi pada kedua kasus di atas, maka pengandaian di awal (bahwasanya  ) bernilai salah. Akibatnya, terbukti bahwa informasi   dan   akan mengakibatkan  .

sehingga terbukti bahwa  .

Argumentasi serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa  

Referensi

sunting
  1. ^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2016). Introduction to Logic [Pengantar Logika] (dalam bahasa Inggris). doi:10.4324/9781315510897. ISBN 9781315510880. 
  2. ^ Hurley, Patrick J. (2015), A Concise Introduction to Logic [Pengantar Singkat mengenai Logika] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-12th), Cengage Learning, ISBN 978-1-285-19654-1 
  3. ^ Moore, Brooke Noel (2012). Critical thinking [Berpikir Kritis] (dalam bahasa Inggris). Richard Parker (edisi ke-10th). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-803828-0. OCLC 689858599. 
  4. ^ Teorema De Morgan
  5. ^ Kashef, Arman. (2023), In Quest of Univeral Logic: A brief overview of formal logic's evolution (dalam bahasa Inggris), doi:10.13140/RG.2.2.24043.82724/1 
  6. ^ Boolean Algebra by R. L. Goodstein. ISBN 0-486-45894-6

Pranala luar

sunting

Templat:Logika klasik