Sistem Koordinat Bola

Dalam matematika, Sistem Koordinat Bola adalah sistem koordinat untuk ruang tiga dimensi di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

Sistem koordinat bola (r, θ, φ) digunakan dalam bidang fisika (ISO 80000-2:2019): Jarak radial r, sudut θ (theta), dan sudut azimuthal φ (phi). Simbol ρ (rho) r.
Spherical coordinates (r, θ, φ) as often used in mathematics: radial distance r, azimuthal angle θ, and polar angle φ. The meanings of θ and φ have been swapped compared to the physics convention.
A globe showing the radial distance, polar angle and azimuthal angle of a point P with respect to a unit sphere, in the mathematics convention. In this image, r equals 4/6, θ equals 90°, and φ equals 30°.

Persamaan pada Sistem Koordinat BolaSunting

 
Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat (x0, y0, z0) dan jari jari r adalah lokus titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga

 

biarkan a, b, c, d, e bilangan real dengan sebuah a ≠ 0 dan put

 

Lalu persamaan

 

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika   dan disebut persamaan bola imajiner. Jika  , satu-satunya solusi   adalah intinya   dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini  ,   adalah persamaan bola yang pusatnya adalah   dan yang radiusnya adalah  .[1]

Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f(x, y, z) = 0 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.[2]

Titik-titik di bola dengan jari-jari   dan pusat   dapat diparameterisasi via

 [3]

Keliling   dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling   dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

 

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,(x, y, z) dan (dx, dy, dz), yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.[4]

Konveksi utamaSunting

Konveksi utama
Koordinat arah geografis lokal yang sesuai
(Z, X, Y)
Bagian (
Bahasa Inggris
)
(r, θinc, φaz,right) (U, S, E) right
(r, φaz,right, θel) (U, E, N) right
(r, θel, φaz,right) (U, N, E) left

Dalam Koordinat KartesiusSunting

Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):

  • r adalah jari-jari.
  • a adalah kemiringan.
  • φ adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.

Anda dapat memporoleh dari hasil koordinat kartesius pada nilai ( x, y, z ) dengan rumusnya adalah:

 

Garis singgung iversi dilambangkan dengan nilai φ = arctan yx harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai (x, y).

Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:

  • r jari jari.
  • θ inklinasi.
  • φ azimut.

darimana r[0, ∞), θ[0, π], φ[0, 2π) adalah ...,oleh

 

Sistem Koordinat TabungSunting

Templat:Stub-matematika


 

 

Koordinat bola yang dimodifikasiSunting

Kemungkinan cara modifikasi pada elipsoid adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level

 

Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai (x, y, z) oleh karena itu rumusnya adalah:

 

Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:

 

Faktor akar kuadrat yang berasal dari properti determinan yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:

 

Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bolaSunting

- Dalam pengembangan -

Jarak dalam Koordinat BulatSunting

- Dalam pengembangan -

KinematikaSunting

- Dalam pengembangan -

ReferensiSunting

  1. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Albert54
  2. ^ Woods 1961, p. 266.
  3. ^ (Kreyszig 1972, hlm. 342).
  4. ^ Albert 2016, p. 60.