Fungsi indikator

sebuah fungsi didefinisikan pada sebuah himpunan X yang mengindikasikan keanggotaan unsur dalam sebuah himpunan bagian A dari X, memiliki nilai 1 untuk


Dalam matematika, sebuah fungsi indikator atau sebuah fungsi karakteristik adalah sebuah fungsi didefinisikan pada sebuah himpunan yang mengindikasikan keanggotaan unsur dalam sebuah himpunan bagian dari , memiliki nilai 1 untuk semua unsur di dan nilai 0 untuk semua unsur bukan di . Ini biasanya dilambangkan oleh sebuah simbol 1 atau , terkadang dalam huruf tebal atau huruf tebal papan tulis, dengan sebuah subskrip menentukan himpunan bagian.

Sebuah plot berdimensi tiga mengenai sebuah fungsi indikator, ditunjukkan selama sebuah ranah (himpunan ) berdimensi dua bujur sangkar, sebagian yang 'dinaikkan' menampilkan titik berdimensi dua itu yang merupakan anggota dari himpunan bagian () yang 'ditunjukkan'.

Dalam konteks lainnya, seperti ilmu komputer, ini akan lebih sering digambarkan sebagai fungsi predikat boole (untuk menguji inklusi himpunan).

Fungsi Dirichlet adalah sebuah contoh fungsi indikator dan merupakan indikator dari rasional.

DefinisiSunting

Fungsi indikator himpunan bagian   dari sebuah himpunan   adalah sebuah fungsi

 

didefinisikan sebagai

 

Tanda kurung Iverson menyediakan notasi setara,   atau x ϵ A, untuk digunakan sebagai ganti dari  .

Fungsi   terkadang dilambangkan  ,  ,   atau bahkan hanya  .[a][b]

Notasi dan terminologiSunting

Notasi   juga digunakan untuk melambangkan fungsi karakteristik dalam analisis cembung, yang didefinisikan seakan-akan menggunakan timbal balik dari definisi standar dari fungsi indikator.

Sebuah konsep yang berkaitan dalam statistik adalah bahwa peubah rekaan. (Ini tidak boleh bingung dengan "peubah rekaan" karena istilah tersebut biasanya digunakan dalam matematika, disebut juga sebuah peubah batas.)

Istilah "fungsi karakteristik" memiliki sebuah arti yang tidak berkaitan dalam teori probabilitas klasik. Untuk alasan ini, probabilitas tradisional menggunakan istilah fungsi indikator untuk fungsi didefinisikan disini hampir secara eksklusif, sementara para matematikawan dalam bidang lainnya lebih suka menggunakan istilah fungsi karakteristik[a] untuk menggambarkan fungsi yang mengindikasikan keanggotaan dalam sebuah himpunan.

Dalam logika kabur dan logika bernilai banyak modern, predikatnya adalah fungsi karakteristik sebaran probabilitas. Yaitu, penilaian benar/salah yang teliti dari predikat digantikan oleh sebuah kuantitas diinterpretasi sebagai derajat kebenaran.

Sifat-sifat dasarSunting

Fungsi indikator atau karakteristik dari sebuah himpunan bagian   dari beberapa himpunan   memetakan unsur   ke kisaran  .

Pemetaan ini surjektif hanya ketika   adalah sebuah himpunan bagian wajar takkosong dari  . Jika  , maka  . Dengan sebuah argumen yang serupa, jika   maka  .

Dalam berikut ini, titik mewakili perkalian,  ,  , dst. " " dan " " mewakili penambahan dan pengurangan. " " dan " " adalah irisan dan gabungan, masing-masing.

Jika   dan   adalah dua himpunan bagian  , maka

 ,
 ,

dan fungsi indikator dari komplemen   yaitu   adalah:

 .

Lebih umumnya, andaikan   adalah sebuah kumpulan himpunan bagian  . Untuk suatu  :

 

jelas sebuah darab 0 dan 1. Darab ini memiliki nilai 1 pada tepatnya   yang tidak menjadi miliki himpunan   dan adalah 0 jika tidak. Yaitu

 .

Memperluas darab pada ruas sebelah kiri,

 

dimana   adalah kekardinalan  [perlu dijelaskan]. Ini adalah salah satu bentuk dari prunsip inklusi-eksklusi.

Seperti yang disarankan oleh contoh sebelumnya, fungsi indikator adalah sebuah alat notasional yang berguna dalam kombinatorika. Notasinya digunakan dalam tempat lainnya juga, misalnya dalam teori probabilitas. Jika   adalah ruang probabilitas dengan ukuran probabilitas   dan   adalah sebuah himpunan terukurkan, maka   menjadi sebuah peubah acak yang nilai harapannya sama dengan probabilitas dari  :

 

Identitas ini digunakan dalam sebuah bukti sederhana pertidaksamaan Markov.

Dalam banyak kasus, seperti teori tatanan, invers dari fungsi indikator dapat didefinisikan. Ini biasanya disebut fungsi Möbius rampat, sebagai sebuah perampatan dari balikan fungsi indikator dalam teori bilangan elementer, fungsi Möbius. (Lihat paragraf di bawah mengenai penggunaan balikan dalam teori rekursi klasik.)

Purata, ragam, dan peragamSunting

Diberikan sebuah ruang probabilitas   dengan  , peubah acak indikator   didefinisikan oleh   jika  , jika tidak  .


Purata

 


Ragam

 


Peragam

 

Fungsi karakteristik dalam teori rekursi, fungsi wakilan Gödel's dan KleeneSunting

Kurt Gödel menjelaskan fungsi wakilan dalam makalahnya tahun 1934 berjudul "On undecidable propositions of formal mathematical systems":

"Mereka seharusnya berpadanan untuk setiap kelas atau relasi  , sebuah fungsi wakilan   jika   dan   jika  ."[1](hlm. 42) (" " mengindikasikan balikan logis, yaitu "BUKAN")

Kleene (1952)[2] menawarkan definisi yang sama dalam konteks dari fungsi rekursif primitif sebagai sebuah fungsi   predikat   mengambil nilai 0 jika predikatnya benar dan 1 jika predikatnya palsu.

Contohnya, karena darab fungsi karakteristik   setiap kali salah satu dari fungsi sama dengan 0, ini memainkan peran logis OR: JIKA   MAKA darabnya adalah 0. Apa yang muncul ke pembaca modern mewakili fungsi balikan logis, yaitu, mewakili fungsi adalah 0 ketika fungsi   adalah "benar" atau terpenuhi", memainkan sebuah peran yang berguna dalam definisi Kleene dari fungsi logis operator mu  ,  , dan   (hlm. 228), -terbatas (hlm. 228) dan takterbatas (hlm. 279 ff) (Kleene (1952)) dan fungsi KASUS (hlm. 229).

Fungsi karakteristik dalam teori himpunan kaburSunting

Dalam matematika klasik, fungsi karakteristik mengenai himpunan hanya mengambil nilai 1 (anggota) atau 0 (bukan anggota). Dalam teori himpunan kabur, fungsi karakteristik rampat dengan mengambil nilai dalam selang satuan real  , atau lebih umumnya, dalam beberapa aljabar atau struktur (biasanya dibutuhkan setidaknya sebuah himpunan terurut parsial atau kekisi). Seperti fungsi karakteristik rampat lebih biasanya disebut fungsi keanggotaan, dan "himpunan" padanan disebut himpunan kabur. Himpunan kabur memodelkan perubahan bertahap dalam derajat keanggotaan dilihat dalam banyak predikat dunia nyata seperti "tinggi", "hangat", dst.

Turunan dari fungsi indikatorSunting

Sebuah fungsi indikator khusus adalah fungsi langkah Heaviside. Fungsi tangga Heaviside   adalah fungsi indikator dari garis setengah positif berdimensi satu, yaitu, ranah  . Turunan sebaran dari fungsi tangga Heaviside adalah sama dengan fungsi delta Dirac, yaitu.

 ,

dengan sifat berikut:

 .

Turunan dari fungsi tangga Heaviside dapat dilihat sebagai turunan normal ke dalam pada batas dari ranah diberikan oleh setengah garis positif. Dalam dimensi lebih tinggi, turunan secara alami merampat dengan turunan normal ke dalam, sementara fungsi tangga Heaviside secara alami merampat ke fungsi indikator mengenai suatu domain  . Permukaan   akan dilambangkan oleh  . Dengan melanjutkan, ini dapat diturunkan bahwa turunan normal ke dalam dari indikator memunculkan sebuah 'fungsi delta permukaan', yang dapat diindikasikan oleh  :

 

dimana   adalah normal ke luar dari permukaan  . 'Fungsi delta permukaan' ini memiliki sifat berikut:

 .

Dengan menetapkan fungsi   sama dengan satu, ini mengikuti bahwa turunan normal ke dalam dari indikator mengintegralkan ke nilai numerik ke luas permukaan  .

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ a b Huruf Yunani   muncul karena ini adalah huruf awal dari kata Yunani χαρακτήρ, yang merupakan asal terakhir dari kata "karakteristik".
  2. ^ Himpunan semua fungsi indikator pada X dapat diidentifikasi dengan  , himpunan kuasa X. Akibatnya, kedua himpunan terkadang dilambangkan oleh  . Ini adalah sebuah kasus khusus ( ) dari notasi   untuk himpunan semua fungsi  .

ReferensiSunting

  1. ^ Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books. hlm. 41–74. 
  2. ^ Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (edisi ke-Sixth reprint, with corrections). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. hlm. 227. 

SumberSunting