Grup kelas ideal

Dalam teori bilangan, grup kelas ideal (atau grup kelas) dari bidang bilangan aljabar K adalah grup hasil bagi J_K/P_K dimana J_K adalah grup pecahan ideal dari gelanggang bilangan bulat dari K, dan P_K adalah subgrup dari prinsip ideal. Grup kelas adalah ukuran faktorisasi unik dengan gelanggang bilangan bulat dari K. Urutan dari grup hingga, disebut bilangan kelas dari K.

Teori ini meluas ke domain Dedekind dan bidang pecahan, sifat perkalian terkait dengan struktur grup kelas. Misalnya, grup kelas dari domain Dedekind trivial jika dan hanya jika gelanggang tersebut adalah domain faktorisasi unik.

Sejarah dan asal usul grup kelas ideal

Grup kelas ideal dipelajari beberapa waktu sebelum ide tentang ideal dirumuskan. Grup ini muncul dalam teori bentuk kuadrat: dalam kasus bentuk kuadrat integral biner ke dalam sesuatu seperti bentuk akhir oleh Gauss, hukum komposisi didefinisikan pada kelas ekuivalens tertentu dari bentuk. Grup abelian hingga yang diakui pada saat itu.

Kemudian Kummer mengerjakan teori medan siklotomik. Telah disadari (mungkin oleh beberapa orang) bahwa untuk melengkapi bukti dalam kasus umum teorema terakhir Fermat oleh faktorisasi menggunakan akar satuan: faktorisasi unik, yaitu teorema dasar aritmetika, untuk menambahkan gelanggang yang dihasilkan oleh akar satuan tersebut merupakan hambatan utama. Dari pekerjaan Kummer untuk pertama kalinya muncul studi tentang obstruksi faktorisasi. Sekarang mengenali ini sebagai bagian dari grup kelas ideal: sebenarnya Kummer telah mengisolasi torsi-p dalam grup untuk bidang akar satuan-p, untuk bilangan prima p, sebagai alasan metode standar serangan pada masalah Fermat (lihat bilangan prima reguler).

Dedekind merumuskan konsep ideal, Kummer bekerja dengan cara yang berbeda. Pada titik ini contoh dapat disatukan. Hal ini menunjukkan bahwa sementara gelanggang bilangan bulat aljabar tidak memiliki faktorisasi unik menjadi bilangan prima (karena mereka tidak perlu domain ideal utama), memiliki sifat bahwa setiap ideal yang tepat mengakui faktorisasi unik sebagai produk dari ideal prima (yaitu, setiap gelanggang bilangan bulat aljabar adalah domain Dedekind). Ukuran grup kelas ideal dapat dianggap sebagai ukuran penyimpangan gelanggang dari domain ideal utama; gelanggang adalah domain utama jika dan hanya jika memiliki gelanggang kelas ideal.

Definisi

Jika R adalah domain integral, tentukan relasi ~ bukan nol ideal pecahan dari R ke I ~ J bukan nol a dan b dari R sehingga (a)I = (b)J. (Dimana notasi (a) berarti prinsip ideal dari R terdiri dari semua kelipatan a.) Dengan mudah ditunjukkan bahwa ini adalah relasi ekuivalen. Kelas kesetaraan disebut kelas ideal dari R. Kelas ideal dapat dikalikan: jika [I] menunjukkan kelas ekivalen dari ideal I, maka perkalian [I][J] = [IJ] didefinisikan dengan komutatif. Ideal utama membentuk kelas ideal [R] yang berfungsi sebagai elemen identitas untuk perkalian. Jadi kelas [I] invers [J] jika dan hanya jika ada ideal J sehingga IJ adalah prinsip ideal. Secara umum, J tidak termasuk himpunan kelas ideal dari R mungkin hanya sebuah monoid.

Namun, jika R adalah gelanggang bilangan bulat aljabar dan bidang bilangan aljabar, atau domain Dedekind, perkalian didefinisikan di atas mengubah himpunan kelas ideal pecahan menjadi grup abelian, grup kelas ideal dari R. Sifat grup elemen invers dengan mudah dari fakta bahwa, dalam domain Dedekind, setiap ideal bukan-nol (kecuali R) adalah produk dari ideal prima.

Sifat

Grup kelas ideal adalah (yaitu hanya memiliki satu elemen) jika dan hanya jika ideal R adalah pokok. Dalam pengertian ini, grup kelas ideal mengukur R dari menjadi domain ideal utama, dan karena faktorisasi prima unik (domain Dedekind adalah domain faktorisasi unik jika dan hanya jika domain tersebut adalah domain ideal utama).

Jumlah kelas ideal (bilangan kelas dari R) tidak hingga pada umumnya. Maka, grup abelian isomorfik dengan grup kelas ideal dari beberapa domain Dedekind. Jika R adalah gelanggang bilangan bulat aljabar, maka bilangan kelasnya selalu hingga. Hal ini adalah salah satu hasil utama dari teori bilangan aljabar klasik.

Perhitungan grup kelas secara umum; dengan tangan untuk gelanggang bilangan bulat dalam bidang bilangan aljabar kecil diskriminan, menggunakan batas Minkowski. Hasil ini memberikan batasan, tergantung pada gelanggang, sehingga setiap kelas ideal mengandung norma ideal yang kurang dari batasan. Secara umum, batasan tidak cukup tajam untuk membuat kalkulasi praktis untuk bidang dengan diskriminan besar, tetapi komputer sangat cocok untuk tugas tersebut.

Pemetaan dari gelanggang bilangan bulat R ke grup kelas yang sesuai berfungsi, dan grup kelas dapat dimasukkan ke dalam judul teori-K aljabar, dengan K₀(R) menjadi funktor R grup kelas yang ideal; lebih tepatnya, K₀(R) = Z×C(R), dimana C(R) adalah grup kelas. Grup K yang lebih tinggi juga dapat digunakan dan diinterpretasikan secara aritmetika sehubungan dengan gelanggang bilangan bulat.

Relasi dengan grup unit

Dikatakan di atas bahwa grup kelas yang ideal memberikan sebagian dari jawaban atas pertanyaan seberapa besar ideal dalam domain Dedekind variasi seperti elemen. Bagian lain dari jawaban disediakan oleh perkalian grup dari unit dari domain Dedekind, karena dari ideal utama untuk generator membutuhkan penggunaan unit (dan inilah alasan lainnya untuk memperkenalkan konsep ideal pecahan, juga):

Mendefinisikan sebuah peta dari R^× ke himpunan dari semua ideal pecahan bukan nol dari R dengan elemen ke ideal utama (pecahan) yang dihasilkannya. Homomorfisme grup; kernel adalah grup unit R, dan kokernel-nya adalah grup kelas ideal dari R. Kegagaalan grup ini menjadi trivial adalah sebuah ukuran dari kegagalan pemetaan menjadi sebuah isomorfisme: yaitu kegagalan ideal untuk bertindak seperti unsur gelanggang, dengan kata lain, seperti bilangan.

Hubungan dengan teori medan kelas

Teori medan kelas adalah cabang dari teori bilangan aljabar untuk mengklasifikasikan semua ekstensi abelian dari bidang bilangan aljabar tertentu, artinya ekstensi Galois dengan abelian grup Galois. Contoh ini ditemukan di bidang kelas Hilbert dari bidang bilangan, didefinisikan sebagai ekstensi abelian unramifid maksimal dari bidang tersebut. Bidang kelas Hilbert L dari bidang bilangan K unik dan memiliki sifat berikut:

• Ideal dari gelanggang bilangan bulat K menjadi pokok dalam L, yaitu jika I adalah ideal integral dari K maka I adalah ideal utama dalam L.
• L adalah perpanjangan Galois dari K dengan grup Galois isomorfik ke grup kelas ideal K.

Tidak memiliki sifat untuk dibuktikan.

Lihat pula

• Rumus bilangan kelas
• Masalah bilangan kelas
• Teorema Brauer–Siegel-rumus asimtotik untuk bilangan kelas
• Daftar bidang bilangan dengan kelas bilangan satu
• Domain ideal utama
• Teori-K Aljabar
• Teori Galois
• Teorema terakhir Fermat
• Grup kelas Narrow
• Grup Picard-perampatan dari grup kelas yang muncul di geometri aljabar
• Grup kelas Arakelov

Referensi

• Claborn, Luther (1966), "Every abelian group is a class group", Pacific Journal of Mathematics, 18: 219–222, doi:10.2140/pjm.1966.18.219 , diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-06-07 
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934 
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.