Infimum dan supremum

dari elemen utama (resp. minoring) dari himpunan yang diurutkan sebagian (tidak harus ada di semua himpunan)

Dalam matematika, infimum himpunan bagian dari himpunan terurut parsial adalah anggota terbesar dalam , yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota , jika ada satu buah anggota.[1] Berdasarkan pengertian tersebut, infimum disebut batas bawah terbesar (bahasa Inggris: greatest lower bound), dan istilah itu umum digunakan.[1] Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, supremum himpunan bagian dari himpunan terurut parsial adalah anggota terkecil dalam yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota , jika terdapat anggotanya.[1] Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga disebut sebagai batas atas terkecil (bahasa Inggris: least upper bound).[2] Supremum disingkat sebagai "sup".

Himpunan dari bilangan real (bulatan kosong dan bulatan penuh). himpunan bagian dari (bulatan penuh), dan infimum . Perhatikan bahwa untuk himpunan terurut total atau terhingga, infimum dan supremumnya adalah sama.
Himpunan dari bilangan real (bulatan berwarna biru), himpunan batas atas (wajik berwarna dan bulatan merah), dan batas atas yang paling terkecil, yaitu, supremum (wajik berwarna merah).

Infimum dan supremum dari bilangan real adalah kasus istimewa yang umum, yang penting dalam analisis matematika, khususnya dalam integrasi Lebesgue. Akan tetapi, definisi umum tetap valid dalam pengaturan teori order yang lebih abstrak

Komsep infimum dan supremum mirip seperti konsep minimum dan maksimum, tetapi konsep ini lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karakteristik spesial berbeda yang tidak memiliki minimum atau maksimum. Sebagai contoh, bilangan real positif , himpunan yang mengecualikan 0, tidak memiliki suatu minimum, karena dengan mudahnya setiap anggota yang diberikan dapat dibagi menjadi dua bagian dalam suatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di . Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif, dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang dapat digunakan sebagai batas bawah.

Definisi formalSunting

 
supremum = batas atas terkecil

Batas bawah himpunan bagian   dari himpunan terurut parsial   merupakan suatu anggota   dari   sehingga   untuk semua   dalam  . Batas bawah   dari   disebut infimum   jika untuk semua batas bawah   dari   di  , maka  , dalam artian bahwa   lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.

Dengan definisi yang serupa, batas atas himpunan bagian   dari himpunan terurut parsial   merupakan suatu anggota   dari   sehingga  , untuk semua   dalam  . Batas atas   dari   disebut supremum dari   jika untuk semua batas atas   pada   dalam  , maka  , dalam artian bahwa   lebih kecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya.

Keberadaan dan ketunggalanSunting

Infimum dan supremum tidak sepenuhnya harus ada. Keberadaan infimum dari himpunan terurut parsial   dari   dapat gagal jika   tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan batas bawah tidak berisi suatu anggota terbesar. Namun, jika infimum atau supremum ada, maka batasnya dikatakan tunggal.

Keberadaan infimum dalam himpunan terurut parsial menjadi sangat menarik. Sebagai contoh, kekisi adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian tak kosong terhingga di dalamnya memiliki supremum dan infimum, serta kekisi sempurna adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian di dalamnya memiliki supremum dan infimum.

Jika supremum himpunan bagian   ada, batasnya dikatakan tunggal, Jika   berisi suatu anggota terbesar, maka anggota itu supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik   (alias tidak ada). Begitupula untuk infimum: Jika infimum ada, batasnya dikatakan tunggal. Jika   berisi suatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki   (alias tidak ada).

Kaitannya dengan anggota maksimum dan minimumSunting

Infimum himpunan bagian   dari himpunan terurut parsial  , asumsi kalau ada, tidak perlu milik  . Jika hal tersebut benar, maka dapat dikatakan mempunyai anggota terkecil  . Demikian pula, jika supremum   milik  , maka batasnya adalah anggota terbesar  .

Sebagai contoh, misalkan ada himpunan bilangan real negatif (tak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota himpunan, masih ada anggota lain yang lebih besar. Katakanlah, untuk setiap bilangan real negatif  , masih ada bilangan real negatif   yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti merupakan suatu batas atas himpunan tersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki suatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.

Namun, definisi anggota maksimum dan minimum adalah definisi yang lebih umum. Secara khusus, suatu himpunan dapat memiliki banyak anggota maksimum dan miniuml, sedangkan infimum dan supremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus merupakan anggota dari himpunan bagian yang diketahui, sedangkan infimum dan supremum himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.

Batas atas minimumSunting

Suatu himpunan terurut parsial dapat memiliki banyak batas atas minimum tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimum adalah batas atas yang tidak ada anggota terkecil yang merupakan sebuah batas atas. Ini bukan berarti bahwa setiap batas atas minimum lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, melainkan hanya tidak lebih besar. Perbedaan antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika urutan yang diberikan bukanlah terurut total. Dalam himpunan terurut total, seperti bilangan real, konsepnya sama.

Sebagai contoh, misalkan   adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga, dan misalkan himpunan terurut parsial diperoleh dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari   bersama dengan himpunan bilangan bulat   dan himpunan bilangan real positif  , yang diurutkan dari inklusi himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya. Maka jelaslah   dan   lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Akan tetapi,  lebih kecil dari   maupun sebaliknya tidak berlaku benar, sebab kedua himpunan tersebut merupakan batas atas minimum, tetapi tak ada satupun di antaranya yang merupakan supremum.

Sifat batas atas terkecilSunting

Sifat batas atas terkecil adalah sebuah contoh sifat kelengkapan yang dijelaskan sebelumnya, yang khususnya untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.

Jika suatu himpunan terurut   memiliki sifat bahwa setiap himpunan bagian tak kosong   memiliki suatu batas atas yang juga memiliki suatu batas atas terkecil, maka   dikatakan memiliki sifat batas atas terkecil. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan   dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil. Demikian pula, himpunan   dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika   adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari   dan ada suatu bilangan   sehingga setiap anggota   dari   lebih kecil dari atau sama dengan  , maka terdapat suatu batas atas terkecil   untuk  , sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk   dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk  . Himpunan terurut rapi juga memiliki sifat batas atas terkecil, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki suatu batas atas terkecil, yaitu anggota terkecil dari seluruh himpunan.

Ada sebuah contoh untuk himpunan yang memiliki sedikit sifat batas atas terkecil, yaitu  , himpunan bilangan rasional. Misalkan   adalah himpunan dari semua bilangan rasional  , sehingga  . Maka   memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, atau 6) tetapi tidak ada batas atas di  . Jika memisalkan   adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real   dan   (seperti   dan  ), terdapat suatu bilangan rasional  , yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika  ). Contoh lainnya adalah bilangan hiperreal sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan infinitesimal positif.

Terdapat sebuah sifat batas bawah terbesar yang sama, suatu himpunan terurut memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila himpunan tersebut juga memiliki sifat batas atas terkecil; batas atas terkecil dari himpunan batas bawah dari himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas atas terkecil dari himpunan.

Jika setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan terurut parsial  , maka ini juga berlaku bahwa untuk setiap himpunan  , akan ada semua fungsi yang dipetakan dari   ke   dalam ruang fungsi, dengan   jika dan hanya jika   untuk semua   dalam  . Sebagai contoh, pernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, bilangan real  -tupel dan barisan bilangan real, sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus.

Sifat batas atas terkecil adalah indikator dari supremum.

Infimum dan supremum bilangan realSunting

Dalam analisis matematika, infimum dan supremum himpunan bagian   dari bilangan real sangat penting. Sebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremumnya adalah 0 (yang bukan bilangan real negatif).[3] Kelengkapan bilangan real mengimplikasikan (dan ekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas   dari bilangan real memiliki satu buah infimum dan satu buah supremum. Jika   tidak berbatas bawah, maka umumnya ditulis secara formal, yaitu  . Jika   kosong, maka ditulis  .

Sifat-sifatSunting

Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika di himpunan. Misalkan himpunan  , dan misalkan skalar  . Hal ini mendefinisikan

  •  , hasil kali skalar dari suatu himpunan hanyalah skalar dikalikan oleh setiap anggota di himpunan.
  •  , disebut sebagai penjumlahan Minkowski, penjumlahan aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan, anggota dari setiap himpunan.
  •  , hasil kali artimetika dua himpunan adalah hasil kali semua pasangan anggota, anggota dari setiap himpunan.

Dalam kasus tersebut untuk himpunan   dan   mempunyai infimum dan supremum, berlaku identitas berikutː

  •   jika dan hanya jika untuk setiap  , terdapat   dengan  , dan   untuk setiap  .
  •   jika dan hanya jika setiap  , terdapat   dengan   untuk setiap  .
  • Jika  , maka   dan  .
  • Jika  , maka   dan  .
  • Jika  , maka   dan  .
  •  , dan  .
  • Jika  ,   himpunn tak kosong bilangan real positif maka  , dan hal ini berlaku sama untuk supremum.[4]

DualitasSunting

Jika dualitas dilambangkan dengan  , maka himpunan terurut parsial   dengan relasi urutan berlawanan, dalam artian:   di  jika dan hanya jika   dalam  , untuk semua   dan  , maka infimum himpunan bagian   di   sama dengan  , dan begitupula untuk sebaliknya.

Untuk himpunan bagian dari bilangan real, terdapat dualitas lain yang berlaku  , dengan  .

ContohSunting

InfimumSunting

  • Infimum himpunan bilangan   adalah  .   adalah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karena itu,   bukanlah infimum.
  • Lebih umum, jika suatu himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, anggota terkecil itu juga disebut minimum dari himpunan.
  •  .
  •  ,  
  •  .
  •  .
  • Jika   adalah barisan menurun dengan limit  , maka  .

SupremumSunting

  • Supremum himpunan bilangan   adalah  .   adalah batas atas, tetapi bukan batas atas terkecil, dan karena itu,   bukanlah supremum.
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .

Di contoh terakhir, supremum himpunan bilangan rasional adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa rasional tidak lengkap.

Salah satu sifat dasar dari supremum adalah

 
untuk setiap fungsional   dan  .

Supremum himpunan bagian   dari  , dengan   melambangkan notasi pembagi, adalah kelipatan persekutuan terkecil anggota  .

Supremum himpunan   yang mengandung beberapa himpunan   merupakan gabungan subhimpunan dari himpunan terurut parsial  , dengan   menyatakan pangkat kuasa dari  , dan   menyatakan himpunan bagian.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ a b c Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis  ("print") (edisi ke-3rd). McGraw-Hill. hlm. 4. ISBN 0-07-054235-X. 
  2. ^ Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis  ("print") (edisi ke-3rd). McGraw-Hill. hlm. 4. ISBN 0-07-054235-X. 
  3. ^ Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis  ("print") (edisi ke-3rd). McGraw-Hill. hlm. 4. ISBN 0-07-054235-X. 
  4. ^ Zakon, Elias (2004). Mathematical Analysis I. Trillia Group. hlm. 39–42. 

Pranala luarSunting

Weisstein, Eric W. "Infimum dan supremum". MathWorld.