Teori bilangan analitik

Dalam matematika, teori bilangan analitik adalah cabang dari teori bilangan yang menggunakan metode dari analisis matematika untuk memecahkan masalah tentang bilangan bulat.[1] Hal ini sering dikatakan telah dimulai dengan Peter Gustav Lejeune Dirichlet tahun 1837 pengenalan Dirichlet L - fungsi untuk memberikan bukti pertama Teorema Dirichlet tentang aritmetika.[1][2] Ia terkenal karena hasilnya pada bilangan prima (yang melibatkan Teorema Bilangan Prima dan Fungsi Riemann zeta) dan teori bilangan aditif (seperti dugaan Goldbach).

Riemann zeta berfungsi ζ ( s ) di bidang kompleks. Warna titik mengkodekan nilai ζ(s): warna mendekati hitam menunjukkan nilai mendekati nol, sedangkan hue menyandikan nilai argumen.

Cabang teori bilangan analitikSunting

Teori bilangan analitik dapat dibagi menjadi dua bagian besar, dibagi lebih banyak berdasarkan jenis masalah yang mereka coba selesaikan daripada perbedaan mendasar dalam teknik.

SejarahSunting

PrekursorSunting

Sebagian besar teori bilangan analitik terinspirasi oleh teorema bilangan prima. Karena π(x) menjadi fungsi penghitungan prima yang memberikan jumlah bilangan prima kurang dari atau sama dengan x , untuk setiap bilangan riil x. Misalnya, π (10) = 4 karena ada empat bilangan prima (2, 3, 5 dan 7) kurang dari atau sama dengan 10. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa x / ln(x) adalah pendekatan yang baik untuk π ( x ), dalam arti bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi π(x) dan x / ln(x) sebagai x mendekati tak terhingga adalah 1:

 

dikenal sebagai hukum asimtotik distribusi bilangan prima .

Adrien-Marie Legendre menduga pada tahun 1797 atau 1798 bahwa π ( a ) didekati dengan fungsi a / ( A ln ( a ) + B ' '), di mana A dan Badalah konstanta yang tidak ditentukan. Dalam edisi kedua bukunya tentang teori bilangan (1808) ia kemudian membuat dugaan yang lebih tepat, dengan A = 1 dan B ≈ −1.08366. Carl Friedrich Gauss mempertimbangkan: "Im Jahr 1792 oder 1793 ", menurut ingatannya sendiri hampir enam puluh tahun kemudian dalam sebuah surat kepada Encke (1849), dia menulis di tabel logaritma (dia saat itu berusia 15 atau 16) catatan pendek "Primzahlen unter  ". Tapi Gauss tidak pernah mempublikasikan dugaan ini. Pada tahun 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet muncul dengan fungsi perkiraannya sendiri, integral logaritmik li(x) (di bawah bentuk seri yang sedikit berbeda, yang dikomunikasikannya kepada Gauss). Baik rumus Legendre dan Dirichlet menyiratkan dugaan persamaan asimtotik yang sama dari π ( x ) dan x / ln(x) dinyatakan di atas, meskipun ternyata pendekatan Dirichlet jauh lebih baik jika seseorang mempertimbangkan perbedaan daripada quotients.

DirichletSunting

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet dikreditkan dengan penciptaan teori bilangan analitik,[3] bidang di mana ia menemukan beberapa hasil yang mendalam dan dalam membuktikannya memperkenalkan beberapa alat dasar, banyak di antaranya kemudian dinamai menurut namanya. Pada tahun 1837 ia menerbitkan Teorema Dirichlet tentang perkembangan aritmatika, menggunakan analisis matematika konsep untuk mengatasi masalah aljabar dan dengan demikian menciptakan cabang teori bilangan analitik. Dalam membuktikan teorema, ia memperkenalkan karakter Dirichlet dan L-fungsi.[3][4] Pada tahun 1841 ia menggeneralisasi teorema perkembangan aritmatika dari bilangan bulat ke gelanggang dari Bilangan bulat gaussian  .[5]

ChebyshevSunting

Dalam dua makalah dari tahun 1848 dan 1850, ahli matematika Rusia Pafnuty L'vovich Chebyshev mencoba membuktikan hukum asimtotik distribusi bilangan prima. Karyanya terkenal karena penggunaan fungsi zeta ζ ( s ) (untuk nilai nyata dari argumen "s", seperti halnya karya Leonhard Euler, sedini 1737) sebelum memoar Riemann yang terkenal dari 1859, dan dia berhasil membuktikan bentuk yang sedikit lebih lemah dari hukum asimtotik, yaitu jika batas π(x)/(x/ln(x)) ketika x pergi ke tak terbatas ada sama sekali, maka itu harus sama dengan satu.[6] Dia mampu membuktikan tanpa syarat bahwa rasio ini dibatasi di atas dan di bawah oleh dua konstanta yang secara eksplisit diberikan mendekati 1 untuk semua. x.[7] Meskipun makalah Chebyshev tidak membuktikan Teorema Bilangan Prima, perkiraannya untuk π ( x ) cukup kuat baginya untuk membuktikan postulat Bertrand bahwa terdapat bilangan prima antara 'n ≥ 2.

RiemannSunting

"…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien."

"…sangat mungkin bahwa semua akar itu nyata. Tentu saja orang menginginkan bukti yang kuat di sini; Saya memiliki untuk saat ini, setelah beberapa upaya sia-sia sekilas, untuk sementara mengesampingkan pencarian, karena tampaknya dapat diabaikan untuk tujuan penyelidikan saya selanjutnya."

Pernyataan Riemann tentang hipotesis Riemann, dari makalahnya tahun 1859.[8] (Dia membahas versi fungsi zeta, dimodifikasi sehingga akarnya nyata, bukan pada garis kritikal.)

Bernhard Riemann membuat beberapa kontribusi terkenal untuk teori bilangan analitik modern. Di satu makalah pendek (satu-satunya yang dia terbitkan di surat dia untuk menyelidiki fungsi Riemann zeta dan menetapkan pentingnya untuk memahami distribusi bilangan prima. Dia membuat serangkaian dugaan tentang properti fungsi zeta, salah satunya adalah hipotesis Riemann yang terkenal.

Hadamard dan de la Vallée-PoussinSunting

Memperluas gagasan Riemann, dua bukti teorema bilangan prima diperoleh secara independen oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée-Poussin dan muncul di tahun yang sama. Kedua bukti menggunakan metode dari analisis kompleks, menetapkan sebagai langkah utama dari bukti bahwa fungsi Riemann zeta ζ ( s ) bukan nol untuk semua nilai kompleks variabel s yang memiliki s = 1 + it dengan t > 0.[9]

Zaman modernSunting

Perubahan teknis terbesar setelah tahun 1950 adalah pengembangan metode saringan,[10] khususnya dalam masalah perkalian. Ini adalah kombinatorial di alam, dan cukup bervariasi. Cabang ekstrem dari teori kombinatorial sebagai gantinya sangat dipengaruhi oleh nilai yang ditempatkan dalam teori bilangan analitik pada batas atas dan bawah kuantitatif. Perkembangan terbaru lainnya adalah teori bilangan probabilistik ,[11] yang menggunakan metode dari teori probabilitas untuk memperkirakan distribusi fungsi teoretis bilangan, seperti berapa banyak pembagi prima yang dimiliki suatu bilangan.

Perkembangan dalam teori bilangan analitik sering kali merupakan penyempurnaan dari teknik sebelumnya, yang mengurangi istilah kesalahan dan memperluas penerapannya. Misalnya, metode lingkaran dari Hardy dan Littlewood dianggap berlaku untuk rangkaian pangkat di dekat satuan kompleks; sekarang dianggap dalam istilah jumlah eksponensial terbatas (yaitu, pada lingkaran satuan, tetapi dengan deret pangkat terpotong). Kebutuhan pendekatan diophantine adalah untuk fungsi tambahan yang bukan fungsi penghasil, koefisiennya dibangun dengan menggunakan sebuah prinsip pigeonhole dan melibatkan beberapa variabel kompleks. Bidang pendekatan Diofantin dan teori transendensi telah berkembang, sampai-sampai teknik tersebut telah diterapkan pada dugaan Mordell.

Masalah dan hasilSunting

Teorema dan hasil dalam teori bilangan analitik cenderung bukan hasil struktural yang tepat tentang bilangan bulat, di mana alat aljabar dan geometris lebih tepat. Sebagai gantinya, mereka memberikan perkiraan batas dan perkiraan untuk berbagai fungsi teoritis bilangan, seperti yang diilustrasikan contoh berikut.

Teori bilangan perkalianSunting

Euklides menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga. Pertanyaan penting adalah menentukan distribusi asimtotik bilangan prima; yaitu, gambaran kasar tentang berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu. Gauss, antara lain, setelah menghitung daftar besar bilangan prima, diduga jumlah bilangan prima kurang dari atau sama dengan bilangan besar N mendekati nilai integral

 

Pada tahun 1859 Bernhard Riemann menggunakan analisis kompleks dan fungsi meromorfik khusus yang sekarang dikenal sebagai fungsi Riemann zeta untuk mendapatkan analisis x. Hebatnya, istilah utama dalam rumus Riemann persis di atas integral, memberikan bobot yang substansial pada dugaan Gauss. Riemann menemukan bahwa suku kesalahan dalam ekspresi ini, dan karenanya cara di mana bilangan prima didistribusikan, terkait erat dengan nol kompleks dari fungsi zeta. Menggunakan ide-ide Riemann dan dengan mendapatkan lebih banyak informasi tentang nol dari fungsi zeta, Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée-Poussin berhasil melengkapi bukti dugaan Gauss. Secara khusus, mereka membuktikan bahwa jika

 

then

 

Hasil luar biasa ini adalah apa yang sekarang dikenal sebagai teorema bilangan prima . Ini adalah hasil utama dalam teori bilangan analitik. Secara longgar, ini menyatakan bahwa diberi sejumlah besar N , jumlah bilangan prima kurang dari atau sama dengan N adalah tentang N/log(N).

Lebih umum lagi, pertanyaan yang sama dapat ditanyakan tentang jumlah bilangan prima dalam perkembangan aritmatika a + nq untuk bilangan bulat n . Dalam salah satu aplikasi pertama dari teknik analitik untuk teori bilangan, Dirichlet membuktikan bahwa setiap perkembangan aritmatika dengan coprime a dan q mengandung banyak bilangan prima yang tak terhingga. Teorema bilangan prima dapat digeneralisasikan untuk soal ini; karena

 

lalu jika a dan q koprima,

 

Ada juga banyak dugaan yang dalam dan luas dalam teori bilangan yang pembuktiannya tampak terlalu sulit untuk teknik saat ini, seperti dugaan bilangan prima yang menanyakan apakah adap + 2 adalah bilangan prima. Dengan asumsi dugaan Elliott–Halberstam baru-baru ini telah dibuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga p such that p + k adalah bilangan prima untuk beberapa positif bahkan k paling banyak 12. Juga, telah dibuktikan tanpa syarat (yaitu tidak tergantung pada dugaan yang tidak terbukti) bahwa ada banyak bilangan prima p yang tak terhingga banyak sehingga p + k adalah bilangan prima untuk beberapa positif genap k paling banyak 246.

Teori bilangan aditifSunting

Salah satu masalah terpenting dalam teori bilangan aditif adalah Masalah Waring, yang menanyakan apakah itu mungkin, untuk k ≥ 2, untuk menulis bilangan bulat positif sebagai jumlah dari bilangan terbatas pangkat k ,

 

Kasus untuk kotak, k = 2, adalah dijawab oleh Lagrange pada tahun 1770, yang membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif adalah jumlah dari paling banyak empat persegi. Kasus umum dibuktikan oleh Hilbert pada tahun 1909, menggunakan teknik aljabar yang tidak memberikan batasan eksplisit. Terobosan penting adalah penerapan alat analitik untuk masalah dengan Hardy dan Littlewood. These techniques are known as the lingkaran, dan berikan batas atas eksplisit untuk fungsi G ( k ), jumlah terkecil dari pangkat kth yang dibutuhkan, seperti Vinogradov terikat

 

Masalah DiofantinSunting

Masalah Diofantin berkaitan dengan solusi integer untuk persamaan polinomial: seseorang dapat mempelajari distribusi solusi, yaitu menghitung solusi menurut beberapa ukuran "ukuran".

Contoh penting adalah Masalah lingkaran Gauss, yang meminta poin bilangan bulat ( x y ) yang memenuhi

 

Dalam istilah geometris, diberikan lingkaran yang berpusat di sekitar titik asal pada bidang dengan jari-jari r , soal menanyakan berapa banyak titik kisi bilangan bulat yang terletak di atau di dalam lingkaran. Tidak sulit untuk membuktikan bahwa jawabannya adalah  , dimana   sebagai  . Sekali lagi, bagian yang sulit dan pencapaian besar dari teori bilangan analitik adalah memperoleh batas atas tertentu pada istilah kesalahan E(r).

Metode teori bilangan analitikSunting

Deret DirichletSunting

Salah satu alat yang paling berguna dalam teori bilangan perkalian adalah Deret Dirichlet, yang merupakan fungsi dari variabel kompleks yang ditentukan oleh deret tak hingga bentuk

 

Bergantung pada pilihan koefisien  , rangkaian ini dapat bertemu di mana-mana, tidak di mana-mana, atau di beberapa bidang setengah. Dalam banyak kasus, bahkan di mana deret tidak bertemu di mana-mana, fungsi holomorfik yang didefinisikannya dapat dilanjutkan secara analitik ke fungsi meromorfik pada seluruh bidang kompleks. Kegunaan fungsi seperti ini dalam soal perkalian dapat dilihat pada identitas formalnya

 

oleh karena itu koefisien dari hasil perkalian dua seri Dirichlet adalah konvolusi perkalian dari koefisien asli. Selanjutnya, teknik seperti penjumlahan parsial dan Teorema Tauberi dapat digunakan untuk mendapatkan informasi tentang koefisien dari informasi analitik tentang deret Dirichlet. Jadi metode umum untuk memperkirakan fungsi perkalian adalah dengan mengekspresikannya sebagai deret Dirichlet (atau produk deret Dirichlet yang lebih sederhana menggunakan identitas konvolusi), periksa deret ini sebagai fungsi kompleks dan kemudian ubah informasi analitik ini kembali menjadi informasi tentang fungsi aslinya.

Fungsi Riemann zetaSunting

Euler menunjukkan bahwa teorema dasar aritmatika menyiratkan (setidaknya secara formal) perkalian Euler

 

Bukti Euler tentang tak terhingga bilangan prima s menggunakan divergensi suku di sisi kiri untuk s = 1 (yang disebut deret harmonik), hasil analitik murni. Euler juga orang pertama yang menggunakan argumen analitis untuk tujuan mempelajari properti bilangan bulat, khusus dengan membangun rangkaian daya pembangkit. Ini adalah awal dari teori bilangan analitik.[12]

Kemudian, Riemann mempertimbangkan fungsi ini untuk nilai kompleks s dan menunjukkan bahwa fungsi ini dapat diperluas ke fungsi meromorfik di seluruh bidang dengan s = 1. Fungsi ini sekarang dikenal sebagai fungsi Riemann Zeta dan dilambangkan dengan ζ ( s ). Ada banyak literatur tentang fungsi ini dan fungsi tersebut merupakan kasus khusus dari Dirichlet Fungsi-L yang lebih umum.

Ahli teori bilangan analitik sering tertarik pada kesalahan pendekatan seperti teorema bilangan prima. Dalam kasus ini, kesalahannya lebih kecil dari x/log x. Rumus Riemann untuk π ( x ) menunjukkan bahwa suku kesalahan dalam pendekatan ini dapat diekspresikan dalam angka nol dari fungsi zeta. Dalam makalahnya tahun 1859, Riemann menduga bahwa semua angka nol "non-sepele" dari ζ terletak di telepon   tetapi tidak pernah memberikan bukti atas pernyataan ini.

Pada awal abad ke-20 G. H. Hardy dan Littlewood membuktikan banyak hasil tentang fungsi zeta dalam upaya untuk membuktikan Hipotesis Riemann. Faktanya, pada tahun 1914, Hardy membuktikan bahwa ada banyak angka nol yang tak terhingga dari fungsi zeta di garis kritikal

 

Hal ini menyebabkan beberapa teorema yang menjelaskan kepadatan angka nol pada garis kritis.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ a b Apostol 1976, hlm. 7.
  2. ^ Davenport 2000, hlm. 1.
  3. ^ a b Gowers, Timothy; June Barrow-Green; Imre Leader (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. hlm. 764–765. ISBN 978-0-691-11880-2. 
  4. ^ Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002). Number theoretic methods: future trends. Springer. hlm. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4. 
  5. ^ Elstrodt, Jürgen (2007). "The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF). Clay Mathematics Proceedings. Diakses tanggal 2007-12-25. 
  6. ^ N. Costa Pereira (August–September 1985). "A Short Proof of Chebyshev's Theorem". American Mathematical Monthly. 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. JSTOR 2322510. 
  7. ^ M. Nair (February 1982). "On Chebyshev-Type Inequalities for Primes". American Mathematical Monthly. 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. JSTOR 2320934. 
  8. ^ Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript Diarsipkan May 23, 2013, di Wayback Machine. (dengan terjemahan bahasa Inggris). Dicetak ulang dalam (Borwein et al. 2008) and (Edwards 1874)
  9. ^ Ingham, A.E. (1990). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. hlm. 2–5. ISBN 0-521-39789-8. 
  10. ^ Tenenbaum 1995, hlm. 56.
  11. ^ Tenenbaum 1995, hlm. 267.
  12. ^ Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004

ReferensiSunting

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
  • H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
  • H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
  • D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

Pada aspek-aspek khusus, buku-buku berikut menjadi sangat terkenal:

Certain topics have not yet reached book form in any depth. Some examples are (i) Montgomery's pair correlation conjecture and the work that initiated from it, (ii) the new results of Goldston, Pintz and Yilidrim on small gaps between primes, and (iii) the Green–Tao theorem showing that arbitrarily long arithmetic progressions of primes exist.

Templat:Number theory-footer