Hukum jajaran genjang

Dalam matematika, bentuk paling sederhana dari Hukum jajaran genjang (juga disebut Identitas jajaran genjang) termasuk dalam geometri dasar. Ini menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari panjang keempat sisi jajaran genjang sama dengan jumlah kuadrat dari panjang dua diagonal. Menggunakan notasi pada diagram di sebelah kanan, sisi-sisinya adalah (AB), (BC), (CD), (DA). Tapi karena dalam geometri Euclidean sebuah jajaran genjang harus memiliki sisi yang berlawanan sama, yaitu (AB) = (CD) dan (BC) = (DA), hukum dapat dinyatakan sebagai

2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,

Jika jajaran genjang adalah persegi panjang, kedua diagonal memiliki panjang yang sama (AC) = (BD), so

2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,

dan pernyataan tersebut direduksi menjadi Teorema Pythagoras. Untuk umum segiempat dengan empat sisi belum tentu sama,

(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2},

di mana x adalah panjang dari ruas garis yang menghubungkan titik tengah diagonal. Dapat dilihat dari diagram bahwa x = 0 untuk jajaran genjang, dan rumus umumnya disederhanakan menjadi hukum jajaran genjang.

Bukti

Di jajaran genjang di sebelah kiri, misalkan AD=BC=a, AB=DC=b, ∠BAD = α. Dengan menggunakan hukum kosinus dalam segitiga ΔBAD, kita mendapatkan:

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}

Dalam jajaran genjang, sudut damping adalah suplemen, oleh karena itu ∠ADC=180°- α. Dengan menggunakan hukum kosinus dalam segitiga ΔADC, kita mendapatkan:

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}

Dengan menerapkan identitas trigonometri $\cos(180^{\circ }-x)=-\cos x$ untuk hasil sebelumnya, kita mendapatkan:

a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}

Sekarang jumlah kuadrat $BD^{2}+AC^{2}$ dapat dinyatakan sebagai:

BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )

Setelah menyederhanakan ekspresi ini, kita mendapatkan:

BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}

Hukum jajaran genjang di ruang hasil kali dalam

Vektor yang terlibat dalam hukum jajaran genjang.

Dalam sebuah ruang bernorma, pernyataan hukum jajaran genjang adalah persamaan yang berhubungan norma:

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,

Dalam ruang darab dalam, normanya ditentukan menggunakan darab dalam:

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,

Sebagai konsekuensi dari definisi ini, dalam ruang hasil kali dalam, hukum jajaran genjang adalah identitas aljabar, yang siap dibuat menggunakan properti hasil kali dalam:

\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,

\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,

Menambahkan dua ekspresi ini:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,

seperti yang dipersyaratkan.

Jika x ortogonal dengan y , maka $\langle x,\ y\rangle =0$ dan persamaan di atas untuk norma penjumlahan menjadi:

\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},

yang merupakan Teorema Pythagoras.

Ruang vektor bernorma memenuhi hukum jajaran genjang

Sebagian besar nyata dan kompleks ruang vektor bernorma tidak memiliki hasil kali dalam, tetapi semua ruang vektor bernorma memiliki norma (menurut definisi). Misalnya, norma yang umum digunakan adalah p - norm:

\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},

dimana $x_{i}$ adalah komponen vektor $x$ .

Dengan adanya norma, orang dapat mengevaluasi kedua sisi hukum jajaran genjang di atas. Fakta yang luar biasa adalah jika hukum jajaran genjang berlaku.^[1]^[2]

Untuk setiap norma yang memenuhi hukum jajaran genjang (yang tentunya merupakan norma hasilkali dalam), hasilkali-dalam yang menghasilkan norma tersebut unik sebagai konsekuensi dari identitas polarisasi. Dalam kasus nyata, identitas polarisasi diberikan oleh:

\langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},

atau setara dengan

{\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\

or

\ {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.

Dalam kasus kompleks ini diberikan oleh:

\langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.

Misalnya, menggunakan p - norm dengan p = 2 dan vektor nyata $x$ dan $y$ , evaluasi hasil perkalian dalam dilanjutkan sebagai berikut :

{\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\&={\tfrac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=x\cdot y,\end{aligned}}

yang merupakan standar perkalian titik dari dua vektor.

Lihat pula

Referensi

^ Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. hlm. 535. ISBN 0-521-59827-3. if p ≠ 2, there is no inner product such that ${\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}$ because the p-norm violates the parallelogram law.
^ Saxe, Karen (2002). Beginning functional analysis. Springer. hlm. 10. ISBN 0-387-95224-1.

Pranala luar

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Parallelogram Law". MathWorld.
The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blog
The Parallelogram Law: A Proof Without Words at cut-the-knot

Templat:Matematika Yunani kuno

[Pelinovsky-1] Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. hlm. 535. ISBN 0-521-59827-3. if p ≠ 2, there is no inner product such that ${\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}$ because the p-norm violates the parallelogram law.

[Saxe-2] Saxe, Karen (2002). Beginning functional analysis. Springer. hlm. 10. ISBN 0-387-95224-1.

[1]

[2]