Monomorfisme

sebuah monomorfisme dari X dengan Y sering digunakan untuk lambang notasi X ↪ Y.

Dalam konteks aljabar abstrak atau aljabar universal, monomorfisme adalah injeksi homomorfisme. Sebuah monomorfisme dari X dengan Y sering dilambangkan dengan notasi X ↪ Y.

Monomorphism scenarios.svg

Dalam pengaturan yang lebih umum dari teori kategori, monomorfisme (juga disebut morfisme monik atau mono) adalah pembatal-kiri morphism. Artinya, anak panah f : XY seperti itu untuk semua objek Z dan semua morfisme g1, g2: ZX,

Monomorfisme adalah generalisasi kategorikal dari fungsi injeksi s (juga disebut "fungsi satu-ke-satu"); dalam beberapa kategori, pengertian tersebut bertepatan, tetapi monomorfisme lebih umum, seperti pada contoh di bawah.

Dual kategorikal dari monomorfisme adalah epimorfisme, yaitu, monomorfisme dalam kategori C adalah epimorfisme dalam kategori ganda Cop. Setiap bagian adalah monomorfisme, dan setiap retraksi adalah epimorfisme.

Kaitannya dengan kemampuan terbalikSunting

Morfisme pembalik kiri harus monik: jika l adalah kebalikan kiri untuk f (artinya l adalah morfisme dan  ), maka f adalah monik, maka

 

Morfisme yang dapat dibalikkan kiri disebut ' split mono' atau bagian.

Namun, monomorfisme tidak perlu dibalik. Misalnya, dalam kategori Grup dari semua grup dan homomorfisme grup di antara mereka, jika H adalah subgrup dari G lalu penyertaan f : HG selalu monomorfisme; tetapi f memiliki invers kiri dalam kategori jika dan hanya jika H memiliki komplemen normal di G .

Morfisme f : XY monic jika dan hanya jika peta induksi f : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), mendefinisikan oleh f(h) = fh untuk semua morfisme h : ZX, adalah injeksi untuk semua objek Z .

ContohSunting

Setiap morfisme dalam kategori konkret yang fungsi yang mendasari adalah monomorfisme; dengan kata lain, jika morfisme benar-benar berfungsi di antara himpunan, maka morfisme apa pun yang merupakan fungsi satu-ke-satu akan menjadi monomorfisme dalam arti kategoris. Dalam kategori himpunan hal yang sebaliknya juga berlaku, jadi monomorfisme persisnya adalah morfisme injektif. Kebalikannya juga berlaku di sebagian besar kategori aljabar yang terjadi secara alami karena adanya objek bebas pada satu generator.

Secara umum tidak benar bahwa semua monomorfisme harus injektif dalam kategori lain; yaitu, ada pengaturan di mana morfisme adalah fungsi antar himpunan, tetapi seseorang dapat memiliki fungsi yang tidak bersifat injektif namun merupakan monomorfisme dalam arti kategori. Misalnya, dalam kategori 'Div' habis grup (abelian) dan homomorfisme grup di antara mereka terdapat monomorfisme yang tidak suntik: consider, misalnya, peta hasil bagi q : QQ/Z, di mana Q adalah rasio di bawah tambahan, Z bilangan bulat (juga dianggap sebagai grup di bawah penambahan), dan Q/Z adalah sesuai grup hasil bagi. Ini bukan peta suntik, karena misalnya setiap bilangan bulat dipetakan ke 0. Namun demikian, ini adalah monomorfisme dalam kategori ini. Ini mengikuti dari implikasinya qh = 0 ⇒ h = 0, yang sekarang akan kami buktikan. Jika h : GQ, where G adalah beberapa kelompok yang dapat dibagi, dan qh = 0, setelah itu h(x) ∈ Z, ∀ xG. Sekarang perbaiki beberapa xG. Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi demikian h(x) ≥ 0 (jika tidak, pilih - x ). Lalu, biarkan n = h(x) + 1, karena G adalah grup yang dapat dibagi, ada beberapa yG seperti x = ny maka akan menjadi h(x) = n h(y). Dari ini, dan 0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n, maka rumusnya adalah

 

Karena h(y) ∈ Z, Kita merumuskan h(y) = 0, dan dengan cara h(x) = 0 = h(−x), ∀ xG. Maka itu merumuskan h = 0, seperti yang diinginkan.

Konsep terkaitSunting

Di antara konsep berguna lainnya adalah epimorfisme biasa, epimorfisme ekstrem, epimorfisme langsung, epimorfisme kuat, dan epimorfisme terbagi.

  • Sebuah epimorfisme dikatakan biasa jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
  • Sebuah epimorfisme   dikatakan ekstrem[1] jika di setiap representasi  , dimana   adalah monomorfisme, morfisme   secara otomatis menjadi isomorfisme.
  • Sebuah epimorfisme   dikatakan langsung jika dalam setiap representasi  , dimana   adalah monomorfisme dan   adalah epimorfisme, morfisme   secara otomatis menjadi isomorfisme.
  • Sebuah epimorfisme   dikatakan kuat[1][2] jika ada monomorphism   dan morfisme apapun   dan   seperti yang  , ada morfisme   seperti yang   dan  .
  • Sebuah epimorfisme   dikatakan terbelah jika ada morfisme   seperti yang   (dalam hal ini   disebut invers sisi kanan untuk  ).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis dalam teori cincin. Morfisme f: AB of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi fungsi penuh dan setia pada kategori turunan: D(f) : D(B) → D(A).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut bimorfisme. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari interval setengah terbuka [0,1) ke lingkaran satuan S1.

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan objek hasil bagi abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme f1 : XY1 dan f2 : XY2 dikatakan setara jika terdapat isomorfisme j : Y1Y2 with j f1 = f2. Ini adalah hubungan kesetaraan, dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari X.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

ReferensiSunting

Pranala luarSunting