Kaidah Cramer

rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
(Dialihkan dari Aturan Cramer)

Dalam aljabar linear, kaidah Cramer adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak persamaan sama dengan banyak variabel, dan berlaku ketika sistem tersebut memiliki solusi yang tunggal. Rumus ini menyatakan solusi dengan menggunakan determinan matriks koefisien (dari sistem persamaan) dan determinan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom matriks koefisien dengan vektor yang berada sebelah kanan persamaan. Metode ini dinamai dari matematikawan Swiss Gabriel Cramer (1704–1752), yang pada tahun 1750 menerbitkan kaidah ini untuk sebarang banyaknya variabel,[1][2] walau Colin Maclaurin juga menerbitkan kasus khusus dari kaidah ini pada tahun 1748[3] (dan mungkin ia sudah mengetahuinya sejak 1729).[4][5][6]

Persamaan untuk z dari Halaman 657 dari buku Gabriel Cramer "Introduction a l’analyse de lignes courbes algébriques".

Kaidah Cramer yang digunakan dengan naif (apa adanya) tidak efisien secara komputasi untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan.[7] Untuk kasus dengan n persamaan dalam n variabel, rumus ini perlu menghitung n + 1 nilai determinan, sedangkan eliminasi Gauss menghasilkan solusi yang sama dengan kompleksitas komputasi yang setara dengan menghitung satu nilai determinan.[8][9] Kaidah Cramer juga dapat tidak stabil secara numerik bahkan untuk sistem ukuran 2×2.[10] Namun, belakangan ini berhasil dibuktikan bahwa kaidah Cramer dapat diterapkan dalam kompleksitas waktu O(n3).[11] Hal ini membuatnya dapat disandingkan dengan metode-metode yang lebih umum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (seperti eliminasi Gauss), dan juga dapat disandingkan dalam hal kestabilan numerik pada kebanyakan kasus.

Kasus umumSunting

Pertimbangkan sistem   persamaan linear dengan   variabel, yang direpresentasikan dalam bentuk perkalian matriks sebagai:

 

dengan matriks   berukuran   memiliki determinan bukan nol, dan vektor   adalah vektor kolom dari variabel. Teorema menyatakan bahwa sistem memiliki solusi unik dalam keadaan ini, dengan nilai untuk setiap variabel diberikan oleh:

 

dimana   adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-  dari   dengan vektor kolom  .

Versi yang lebih umum dari kaidah Cramer[12] mempertimbangkan persamaan matriks

 

Dimana A adalah matriks   yang memiliki determinan bukan nol, sedangkan   dan   adalah matriks  . Untuk sebuah barisan   dan  , misalkan   sebagai submatriks ukuran   yang berisi baris   dan kolom   dari matriks  . Misalkan pula   sebagai matriks   yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-  matriks   dengan kolom ke-  matriks  , untuk semua  . Kemudian

 

Dalam kasus  , persamaan tersebut adalah kaidah Cramer yang normal.

Kaidah Cramer berlaku untuk sistem persamaan dengan koefisien dan variabel di sebarang lapangan, tidak hanya di bilangan real.

ContohSunting

Berikut adalah sistem persamaan linear:

 

Matriks persamaan ini adalah:

 

Apabila a1b2b1a2 bukan nol, maka x dan y dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks tersebut:

 

Untuk matriks 3 × 3, caranya sama:

 

Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:

 

Kemudian nilai x, y dan z dapat dicari dengan rumus berikut:

 

BuktiSunting

Bukti untuk kaidah Cramer didasarkan pada sifat dari determinan: linearitas terhadap setiap kolom, dan fakta bahwa determinan bernilai nol jika terdapat dua kolom yang sama (tersirat dari sifat tanda determinan yang berubah ketika terjadi penukaran dua kolom matriks).

Pilih sebarang kolom ke-j dari sebuah matriks. Linearitas mengartikan jika kita menganggap hanya kolom ke-j sebagai variabel,[13] fungsi   yang dihasilkan (dengan asumsi elemen matriks adalah anggota  ) dapat ditulis sebagai perkalian sebuah matriks, dengan satu baris dan n kolom, dengan kolom ke-j. Faktanya, ini yang dilakukan oleh ekspansi Laplace, yang menyatakan   dengan koefisien  [14] bergantung pada kolom-kolom matriks   selain kolom ke-j. Nilai   juga dapat ditulis sebagai perkalian matriks satu-baris   dengan kolom ke-j dari  . Jika   dikalikan dengan kolom lain dari  , misal kolom ke-k, hal ini sama mengganti kolom ke-j dengan kolom ke-k. Pada kasus ini determinan akan bernilai 0 (sifat determinan jika terdapat dua kolom yang sama).

Selanjutnya perhatikan sistem n persamaan linear dengan n variabel, dengan   sebagai matriks koefisien, dan   diasumsikan tidak bernilai nol:

 

Lalu bentuk persamaan "gabungan" dari menjumlahkan persamaan pertama dikali  , dengan persamaan kedua dikali  , dan seterusnya, sampai persamaan terakhir dikali  . Koefisien untuk variabel   pada persamaan ini adalah

 

sedangkan koefisien untuk variabel lainnya akan bernilai 0; sehingga ekspresi di ruas kiri persamaan hanyalah  . Sedangkan, ruas kanan memiliki bentuk  , yang sama dengan mengalikan   dengan vektor kolom  . Faktanya, proses yang kita lakukan sama dengan mengalikan persamaan   dengan   dari kiri. Membagi kedua ruas dengan   akan menghasilkan persamaan berikut:

 

Bentuk pembilang pada persamaan tersebut sama dengan nilai determinan dari matriks  , dengan kolom ke-j yang diganti dengan vektor  . Akhirnya, kita mendapatkan ekspresi kaidah Cramer yang juga merupakan syarat perlu untuk solusi. Proses yang sama dapat dilakukan untuk nilai-nilai j lain untuk mendapatkan nilai variabel   lainnya.

Hal terakhir yang perlu dibuktikan adalah, apakah (satu-satunya) nilai yang didapatkan dari cara ini memang merupakan solusi dari sistem persamaan. Ketika matriks   dapat diinvers dengan matriks invers  , maka   adalah solusi dari sistem (dan menunjukkan eksistensinya). Untuk menunjukkan   dapat diinvers ketika   tidak bernilai nol, pertimbangkan matriks   ukuran   yang dibentuk dengan menumpuk matriks satu-baris   secara berurutan untuk j = 1, ..., n (ini adalah matriks adjugat dari  ). Dapat ditunjukkan bahwa  , dengan   berada pada kolom ke-j; dari ini dapat simpulkan  . Sehingga didapatkan,

 

yang melengkapi pembuktian.

Untuk bentuk-bentuk pembuktian yang lain, lihat dibawah.

Menemukan matriks inversSunting

Misalkan   adalah matriks   dengan entri-entrinya elemen suatu lapangan  . Selanjutnya

 

dengan   menunjukkan matriks adjugat dari  ,   adalah determinannya, dan   adalah matriks identitas. Jika   tidak bernilai nol, maka matriks invers dari   adalah

 

Terlebih lagi, rumus ini berlaku ketika   merupakan gelanggang komutatif, asalkan   adalah satuan. Jika   bukan satuan, maka   tidak memiliki invers atas gelanggang tersebut.

Interpretasi geometrisSunting

 
Interpretasi geometris dari kaidah Cramer. Jajar genjang kedua dan ketiga memiliki luas yang sama, sedangkan luas jajar genjang yang kedua adalah   kali yang pertama. Dari persamaan ini, kaidah Cramer dapat ditunjukkan.

Kaidah Cramer memiliki interpretasi geometris yang juga dapat dianggap sebagai sebuah bukti atau setidaknya memberikan wawasan tentang sifat geometrisnya. Argumen geometris berikut disajikan untuk kasus dua persamaan dalam dua variabel, dan secara umum dapat diterapkan untuk kasus-kasus lain.

Misalkan kita memiliki sistem persamaan

 

sistem ini dapat dianggap sebagai persamaan antar vektor

 

Luas jajar genjang dibentuk oleh   dan   diberikan oleh determinan:

 

Secara umum, untuk kasus jumlah persamaan dan variabel yang lebih banyak, determinan dari n vektor dengan panjang n akan memberikan volume dari parallelepiped, yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut dalam dimensi ke- n ruang Euklides.

Oleh karena itu, luas jajar genjang ditentukan oleh   dan   akan memiliki   kali luas dari jajar genjang asalnya, karena salah satu sisinya telah dikalikan dengan faktor ini. Sekarang, jajar genjang terakhir ini, dengan menggunakan prinsip Cavalieri, memiliki luas yang sama dengan jajar genjang yang dibentuk oleh   dan  

Menyamakan dua cara menghitung luas dari jajar genjang terakhir akan menghasilkan persamaan

 

yang tidak lain adalah bentuk dari kaidah Cramer.

AplikasiSunting

Geometri diferensialSunting

Kalkulus RicciSunting

Kaidah Cramer digunakan dalam kalkulus Ricci dalam berbagai perhitungan yang melibatkan simbol Christoffel jenis pertama dan kedua.[15]

Secara khusus, aturan Cramer dapat digunakan untuk membuktikan bahwa operator divergensi pada manifold Riemannian invarian (tidak bergantung) pada perubahan koordinat. Berikut disajikan bukti langsung pernyataan tersebut, sambil mengurangi pemakaian simbol Christoffel. Misal   adalah manifold Riemannian yang dilengkapi dengan koordinat lokal  . Misalkan pula   sebagai bidang vektor. Bukti ini menggunakan konvensi penjumlahan Einstein.

Teorema.
Divergensi dari  ,
 
bersifat invarian pada perubahan koordinat.
Bukti
Misalkan   sebagai transformasi koordinat dengan Jacobian yang tidak singular. Dengan menggunakan hukum transformasi, kita dapat menulis   dengan  . Serupa dengan itu, jika  , maka  . Menuliskan hukum transformasi ini dalam bentuk matriks akan menghasilkan  , yang mengakibatkan  .

Di sisi lain, bentuk divergensi dari A dapat diubah,

 

Untuk menunjukkan bahwa bentuk ini sama dengan  , kita perlu dan cukup untuk menunjukkan bahwa

 

setara dengan bentuk

 

Melakukan diferensiasi di sisi kiri persamaan terakhir, kita mendapatkan:

 

dimana   menandakan matriks yang diperoleh dari   dengan menghapus baris ke-  dan kolom ke- . Tapi, kaidah Cramer mengatakan bahwa

 

adalah entri ke   dari matriks  . Alhasil

 

menyelesaikan pembuktian kita.

Menghitung turunan secara implisitSunting

Pertimbangkan dua persamaan   dan  . Jika   dan   adalah variabel bebas pada sistem, kita dapat mendefinisikan   dan   Persamaan untuk   dapat ditemukan dengan menerapkan aturan Cramer.

Perhitungan  

Pertama, hitung turunan pertama dari  ,  ,  , dan  :

 

Mensubtitusi   dan   masing-masing ke   dan  , kita mendapatkan:

 

Karena   dan   keduanya independen, koefisien untuk   dan untuk   harus bernilai nol. Jadi kita bisa menuliskan persamaan berikut yang perlu dipenuhi oleh koefisien:

 

Sekarang, berdasarkan kaidah Cramer, kita dapatkan:

 

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk Jacobian sebagai:

 

Rumus serupa dapat diturunkan untuk  

Pemrograman bilangan bulatSunting

Kaidah Cramer dapat digunakan untuk membuktikan bahwa masalah integer programming, yang matriks pembatasnya bersifat totally unimodular dan yang ruas kanannya berupa bilangan bulat, memiliki solusi bilangan bulat. Hal ini membuat integer program jauh lebih mudah untuk diselesaikan.

Persamaan diferensial biasaSunting

Kaidah Cramer digunakan untuk menurunkan solusi umum ke persamaan diferensial linear yang tidak homogen dengan metode variasi parameter.

Bukti lainnyaSunting

Bukti dengan aljabar linier abstrakSunting

Bukti kaidah Cramer dapat dinyataan dalam bahasa yang lebih abstrak.

Pertimbangkan peta   dengan   adalah matriks   yang kolom ke- -nya diganti dengan vektor  , seperti pada kaidah Cramer. Peta ini bersifat linear karena sifat linearitas determinan pada setiap kolom. Selain itu, karena determinan matriks dengan dua kolom yang sama akan bernilai 0, kolom ke-  dari matriks   akan dipetakan basis vektor standar ke-    (dengan nilai 1 di tempat ke- ). Jadi kita memiliki sebuah peta linier yang sama dengan invers dari   pada ruang kolom; karenanya peta ini sama dengan   pada span dari ruang kolom. Karena   dapat diinvers, span dari vektor-vektor kolom adalah  , jadi peta kita benar-benar invers dari  . Kaidah Cramer mengikuti.

Bukti singkatSunting

Sebuah bukti singkat kaidah Cramer[16] dapat ditunjukkan dengan memperhatikan bahwa   adalah determinan dari matriks

 

Di sisi lain, dengan mengasumsikan matriks   dapat diinvers, matriks   ini memiliki kolom-kolom  , dengan   adalah kolom ke-n matriks  . Ingat pula bahwa matriks   memiliki kolom-kolom  , sehingga kita memiliki hubungan  . Selanjutnya, dengan menggunakan sifat determinan dari hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan setiap matriks, kita dapatkan

 

Bukti yang serupa juga dapat ditulis untuk nilai   lainnya.

Catatan kakiSunting

  1. ^ Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (dalam bahasa Prancis). Geneva: Europeana. hlm. 656–659. Diakses tanggal 2012-05-18. 
  2. ^ Kosinski, A. A. (2001). "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101. 
  3. ^ MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts. 
  4. ^ Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (edisi ke-2nd). Wiley. hlm. 431. 
  5. ^ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (edisi ke-Brief). Pearson Education. hlm. 378–379. 
  6. ^ Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. 
  7. ^ David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. hlm. 276. ISBN 978-1-285-98283-0. 
  8. ^ Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. CRC Press. hlm. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8. 
  9. ^ Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 132. ISBN 978-0-387-48947-6. 
  10. ^ Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. SIAM. hlm. 13. ISBN 978-0-89871-521-7. 
  11. ^ Ken Habgood; Itamar Arel (2012). "A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. 
  12. ^ Zhiming Gong; M. Aldeen; L. Elsner (2002). "A note on a generalized Cramer's rule". Linear Algebra and its Applications. 340: 253–254. doi:10.1016/S0024-3795(01)00469-4 . 
  13. ^ dan mengganggap kolom-kolom lain sebagai konstanta.
  14. ^ Koefisien-koefisien ini disebut dengan kofaktor, namun rumus persisnya tidak penting saat ini.
  15. ^ Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. hlm. 111–112. ISBN 9780486634012. 
  16. ^ Robinson, Stephen M. (1970). "A Short Proof of Cramer's Rule". Mathematics Magazine. 43: 94–95. 

Pranala luarSunting