Daftar identitas trigonometri

artikel daftar Wikimedia

Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari sudut dalam segitiga siku-siku (yang dijelaskan secara geometri). Identitas trigonometri merupakan salah satu fungsi trigonometri dimana rumus tersebut memiliki hasil yang sama bila diuji suatu nilai variabel. Identitas berikut ini sangatlah penting dan berguna dalam komputasi yang elusif.

Daftar ini menjelaskan dasar-dasar fungsi, invers fungsi, beserta nilai sudut istimewa pada fungsi trigonometri. Dan juga mengenai jumlah dan perkalian sudut. Mengenai daftar identitas fungsi invers juga dimasukkan ke dalam halaman ini. Terdapat bukti-bukti mengenai rumus-rumus di bawah. Meski begitu, halaman ini hanya menjelaskan bukti singkat pada rumus dan adapula yang tidak. Untuk melihat bukti, lihat Bukti identitas trigonometri. Berikut adalah daftar identitas trigonometri.

Fungsi dasar trigonometri sunting

 
Segitiga siku-siku   dimana   dan   adalah sisi segitiga dan   adalah hipotenusa.

Salah satu fungsi trigonometri paling umum, semenjak kita duduk di bangku sekolah menengah atas adalah fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Secara geometri, keenam fungsi trigonometri tersebut dapat didefinisikan melalui sudut pada segitiga. Misalkan   adalah segitiga siku-siku,   dan   adalah sisi-sisi segitiga beserta   adalah hipotenusa atau sisi miring segitiga. Misalkan   adalah sudut yang diketahui. Maka,

 
 
 
 
 .
 .

Keenam fungsi trigonometri di atas memiliki grafik, dengan ranah dan kisaran pada setiap dari mereka adalah berbeda, terutama periodenya. Berikut adalah daftar fungsi trigonometri yang ditabelkan, dengan periode, ranah, kisaran, beserta visualisasi grafik fungsi.

Fungsi Periode Ranah Kisaran Grafik
sinus        
kosinus        
tangen        
sekan        
kosekan        
kotangen        

Nilai sudut istimewa sunting

Berikut adalah nilai sudut istimewa pada keenam fungsi trigonometri:

Sinus Kosinus Tangen Kotangen Sekan Kosekan
           
           
15°            
16°            
18°            
30°            
36°            
37°            
45°            
53°            
54°            
60°            
72°            
74°            
75°            
82°            
90°            

Fungsi invers trigonometri sunting

Fungsi invers trigonometri merupakan fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi dasar trigonometri. Lazimnya, fungsi invers trigonometri biasanya dinotasikan dengan prefiks arc-.[1] Terkadang, fungsi invers trigonometri juga dituliskan melalui notasi eksponen  .[nb 1]

Berikut adalah fungsi invers trigonometri, dengan ranah dan kisarannya, antara lain:

Nama fungsi
Simbol Ranah Citra/Kisaran Fungsi
invers
Ranah Citra
sinus                    
kosinus                    
tangen                    
kotangen                    
sekan                    
kosekan                    

Komposisi fungsi trigonometri dengan invers fungsinya sendiri akan sama dengan menuliskan suatu variabel. Dengan kata lain (tinjau   adalah fungsi),

  jika dan hanya jika  

Hal yang serupa untuk fungsi trigonometri, berikut adalah fungsi yang memetakan fungsi inversnya sendiri:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Komposisi fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri lain sunting

Komposisi fungsi invers untuk lebih lanjut dapat dilihat pada tabel di bawah ini.[2]

 

Penyelesaian terhadap persamaan trigonometri sunting

Berikut adalah penyelesaian persamaan trigonometri, dengan nilai   dan  .

Persamaan   Penyelesaian untuk suatu  
           
             
         
           
             
         

Berikut untuk persamaan dengan kedua ruas berupa fungsi trigonometri, tinjau sudut   dan  .

Persamaan   Penyelesaian untuk suatu   Juga berlaku untuk persamaan
             
               
           
             
               
             
             

Beberapa fungsi trigonometri lainnya sunting

 
Beberapa fungsi trigonometri lainnya.

Beberapa fungsi trigonometri antara lain: fungsi yang jarang digunakan seperti versin, coversin, vercosin, covercosin, haversin, havercosin, hacoversin, hacovercosin, exsec, dan excsc. Tabel di bawah menunjukkan fungsi trigonometri yang jarang digunakan beserta dengan grafiknya, antara lain sebagai berikut.

 [3]  
 [3]  
 [3]  
 [4]  
 [5]  
 [6]  
 [7]  
 [8]  

Selain fungsi yang jarang digunakan, terdapat fungsi trigonometri lainnya. Berikut di antaranya: tali busur disingkat crd, dan gd mengindikasikan fungsi Gudermann. Masing-masing dirumuskan sebagai berikut.

 .
 .[9]

Identitas Pythagoras sunting

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari teorema Pythagoras.[10] Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep teorema Pythagoras melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras beserta buktinya, antara lain:

 

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti

Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka

 

Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras,  . Jadi,

 .  

 

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
 .  

 

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
 .  

Dengan menggunakan ketiga identitas di atas, kita dapat menentukan identitas trigonometri lainnya. Tabel berikut menunjukkannya.[11]

           
             
             
             
             
             
             

Refleksi dan putaran sudut sunting

 
Transformasi koordinat   ketika putaran sudut refleksi   bertambah   radian.

Kita dapat menentukan pencerminan dan putaran sudut bila kita meneliti satuan lingkaran. Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan dan putaran sudut.

Refleksi sudut sunting

Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan sudut. Misal   adalah suatu sudut sembarang yang mencerminkan atau merefleksikan sudut  . Tabel berikut hanya menjelaskan refleksi   terhadap   yang bernilaikan satuan radian,  ,  ,  ,  , dan  . Sudut dengan nilai radian   dapat kita bandingkan dengan sudut  

Dalam tabel yang bersubjudulkan   merupakan identitas fungsi ganjil dan genap terhadap fungsi trigonometri.

  refleksi terhadap  [12]   refleksi terhadap     refleksi terhadap     refleksi terhadap     refleksi terhadap  (Bandingkan dengan  )
         
         
         
         
         
         
 
Transformasi koordinat   ketika putaran sudut   bertambah   radian.

Putaran sudut sunting

Putaran seperempat radian Putaran setengan radian Putaran satu radian[13] Periode
       
       
       
       
       
       

Definisi eksponensiasi sunting

Untuk suatu fungsi trigonometri dasar beserta inversnya, dapat didefinisikan melalui eksponensiasi. Tabel berikut menunjukkannya.

Fungsi Fungsi invers[14]
   
   
   
   
   
   
   

Disini,   adalah konstanta dengan nilai  ,   adalah bilangan imajiner, dan   merupakan fungsi trigonometri kosinus ditambahkan oleh fungsi trigonometri sinus yang dikali oleh imajiner, yaitu

 .[15][16]

Pada tabel terakhir, baris awal dan kolom akhir, tepat di bawah kiri sel, rumus tersebut disebut juga sebagai rumus Euler.

Jumlah dan selisih sudut sunting

Jumlah sudut dimana ketika suatu fungsi trigonometri dengan variabel merupakan jumlah sudut-sudut. Sebagai permisalan, diberikan   dan   adalah sudut sembarang, kita rumuskan untuk suatu fungsi trigonometri. Berikut di antaranya,[17]

Sinus      [18][19]
Kosinus      [19][20]
Tangen      [19][21]
Kosekan      [22]
Sekan      [22]
Kotangen      [19][23]
Invers sinus      [24]
Invers kosinus      [25]
Invers tangen      [26]
Invers kotangen      

Jumlah dan selisih sudut sekan juga dirumuskan sebagai

 .

Sudut rangkap sunting

Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Sudut rangkap dapat dibuktikan melalui sifat jumlah sudut. Sebagai contoh, ketika kita ingin mencari  , maka kita gunakan rumus jumlah sudut untuk memperoleh rumus sudut sinus dua rangkap ini.

 

Rumus jumlah sudut tersebut juga kita pakai untuk mencari sudut rangkap tiga. Andaikan kita diminta untuk mencari  , maka dengan menggunakan rumus jumlah sudut.

 

Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari rumus untuk fungsi trigonometri sudut rangkap lainnya, seperti kosinus, tangen, kotangen, sekan, serta dengan kosekan.

Kita telah memperoleh rumus sudut rangkap dua dan sudut rangkap tiga (pada kotak di samping), maka kita beralih ke sudut  -rangkap, dimana  . Dengan kata lain, rumus sudut  -rangkap dapat kita pakai untuk nilai   sembarang. Sebagai contoh, ketika  , maka kita memperoleh sudut dua rangkap dan begitu pula seterusnya.

Tanpa basa-basi, berikut adalah rumus sudut  -rangkap.[27]

  

Metode Chebyshev sunting

Metode Chebyshev adalah algoritme rekursif yang mencari rumus sudut  -rangkap dengan diketahui nilai ke-  dan ke- . Metode Chebyshev dapat dirumuskan untuk sudut rangkap fungsi sinus dan kosinus.[28]

 

Sudut setengah rangkap sunting

Berikut adalah sudut setengah rangkap, antara lain[29][30]

 

Masih terdapat rumus-rumus lainnya berkaitan dengan sudut setengah rangkap. Berikut di antaranya:

 

Penjumlahan dan perkalian fungsi trigonometri sunting

Perkalian ke penjumlahan dan penjumlahan ke perkalian[31][32]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Suatu penjumlahan fungsi trigonometri dapat dikonversikan menjadi perkalian fungsi trigonometri. Sebaliknya, perkalian fungsi trigonometri juga dapat dikonversikan menjadi penjumlahan fungsi trigonometri. Tabel berikut menunjukkan perkalian ke penjumlahan suatu fungsi trigonometri dan begitu juga dengan penjumlahan ke perkalian suatu fungsi trigonometri.

Kalkulus sunting

Limit sunting

Contoh limit fungsi trigonometri yang paling sering digunakan adalah

 

Kita dapat membuktikan contoh pertama dengan menggunakan satuan lingkaran dan teorema apit. Terdapat contoh limit yang juga paling sering dipakai,

 

Limit tersebut dapat dibuktikan melalui fungsi trigonometri tangen rangkap setengah. Untuk limit fungsi trigonometri lainnya, berikut adalah limit fungsi trigonometri beserta dengan pembuktiannya.

  •  [nb 2]

Turunan dan antiturunan sunting

Untuk suatu fungsi trigonometri, terdapat turunan dan antiturunan. Walakin, halaman ini hanya menjelaskan turunan dan antiturunan terhadap fungsi trigonometri yang bersifat dasar beserta fungsi inversnya. Untuk mengenai antiturunan fungsi trigonometri lainnya, lihat Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi invers trigonometri. Tabel berikut ini menunjukkan turunan dan antiturunan, antara lain:

Turunan Integral
   
   
   
   
   
   

Representasi deret sunting

Suatu fungsi trigonometri dapat dikonversikan sebagai deret, dimana bentuk tersebut merupakan representasinya. Deret tersebut dapat merupakan representasi dari deret Maclaurin datau deret Laurent. Keterangan mengenai rumus-rumus di bawah,   adalah bilangan Bernoulli dan   adalah bilangan Euler.

  •  
  •  
  •  [33]
  •  [34]
  •  [35]
  •  [36]

Lihat pula sunting

Catatan, rujukan, dan bibliografi sunting

Catatan sunting

  1. ^ Misalnya, invers fungsi trigonometri sinus, dinotasikan   atau  . .
  2. ^ Sifat berikut juga memiliki beragam limit fungsi trigonometri yang sama dengan  . Limit fungsi di antaranya ialah  ,  , dan  . Beberapa limit fungsi trigonometri ini serupa juga dengan  .

Rujukan sunting

  1. ^ Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich ([c1909]). Plane trigonometry. University of California Libraries. New York : Henry Holt.  […] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]
  2. ^ Abramowitz & Stegun 1972, hlm. 73, 4.3.45
  3. ^ a b c "Abramowitz and Stegun. Page 78". personal.math.ubc.ca. Diakses tanggal 2021-12-05. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Covercosine". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-05. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Haversine". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-05. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Hacoversine". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-05. 
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Havercosine". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-07. 
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Hacovercosine". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-05. 
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Gudermannian". MathWorld. 
  10. ^ "Trigonometric Identities | Boundless Algebra". courses.lumenlearning.com. Diakses tanggal 2021-11-26. 
  11. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 73, 4.3.45
  12. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.13–15
  13. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.7–9
  14. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.26–31
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Cis". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-29. 
  16. ^ "Mathwords: Cis". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-29. 
  17. ^ "7.2: Sum and Difference Identities". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2015-10-31. Diakses tanggal 2021-12-02. 
  18. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.16
  19. ^ a b c d (Inggris) Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". MathWorld. 
  20. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.17
  21. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.18
  22. ^ a b "Angle Sum and Difference Identities". www.milefoot.com. Diakses tanggal 2019-10-12. 
  23. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.19
  24. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.32
  25. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.33
  26. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.34
  27. ^ Weisstein, Eric W. "Multiple-Angle Formulas". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-29. 
  28. ^ "Cosine, Sine and Tangent of Multiple Angles (Recursive Formula)". trans4mind.com. Diakses tanggal 2021-12-02. 
  29. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.20–22
  30. ^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Half-Angle Formulas". MathWorld. 
  31. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.31–33
  32. ^ Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.34–39
  33. ^ Weisstein, Eric W. "Tangent". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-07. 
  34. ^ Weisstein, Eric W. "Cosecant". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-07. 
  35. ^ Weisstein, Eric W. "Secant". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-07. 
  36. ^ Weisstein, Eric W. "Cotangent". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-07. 

Bibliografi sunting