Fungtor

jenis pemetaan antar kategori, yang diterapkan dalam teori kategori

Dalam matematika, khususnya teori kategori, fungtor (bahasa Inggris: functor) adalah peta antara kategori. Fungtor pertama kali dipertimbangkan dalam topologi aljabar, dimana objek aljabar (yaitu grup fundamental) terkait dengan ruang topologi, dan peta antara objek aljabar dikaitkan dengan kontinu peta ruang. Saat ini, fungtor digunakan di seluruh matematika modern untuk menghubungkan berbagai kategori. Dengan demikian, fungtor penting dalam semua bidang dalam matematika yang teori kategori diterapkan.

Kata kategori dan fungtor dipinjam oleh matematikawan dari para filsuf Aristoteles dan Rudolf Carnap.[1] Yang terakhir menggunakan functor dalam konteks linguistik;[2] lihat kata fungsi.

DefinisiSunting

Misalkan C dan D menjadi kategori. A functor F dari C ke D adalah pemetaan[3]

  • mengaitkan ke setiap objek   di C dengan objek   di D,
  • terkait dengan setiap morfisme   in C dengan morfisme   di D sehingga dua kondisi berikut berlaku:
    •   untuk setiap objek   pada C ,
    •   untuk morfisme   dan   pada C.

Artinya, functor harus mempertahankan morfisme identitas dan komposisi morfisme.

Kovarian dan kontravarianSunting

Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka "mengubah morfisme" dan "komposisi terbalik". Kita kemudian mendefinisikan 'contravariant functor' F dari C ke D sebagai pemetaan yang

  • mengaitkan ke setiap objek   in C dengan objek   di D ,
  • terkait dengan setiap morfisme   di C dengan morfisme   pada D sehingga dua syarat berikut berlaku:
    •   untuk setiap objek   di C ,
    •   untuk morfisme   dan   pada C.

Perhatikan bahwa fungsi kontravarian membalikkan arah komposisi.

Fungsi biasa juga disebut fungsi kovarian untuk membedakannya dari fungsi kontravarian. Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi kovarian pada kategori berlawanan  .[4] Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian. Artinya, alih-alih mengatakan   adalah fungtor kontravarian, mereka hanya menulis   (atau terkadang  ) dan menyebutnya sebagai functor.

Fungsional kontravarian juga kadang-kadang disebut kofungtor .[5]

Ada konvensi yang mengacu pada "vektor" yaitu, bidang vektor s, elemen ruang bagian   dari paket tangen  —sebagai "contravariant" dan untuk "covectors" yaitu, 1-bentuk, elemen ruang bagian   dari bundel kotangen   sebagai "kovarian". Terminologi ini berasal dari fisika, dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks ("atas" dan "lantai bawah") dalam ekspresi seperti   for   or   untuk   Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat   (mewakili matriks  ) bertindak atas dasar vektor "dengan cara yang sama" seperti pada "koordinat kovektor":  —sedangkan ia bertindak "dengan cara yang berlawanan" pada "koordinat vektor" (tetapi "dengan cara yang sama" seperti pada covektor dasar:  ). Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors-lah yang memiliki kemunduran secara umum dan dengan demikian menjadi kontravarian , sedangkan vektor pada umumnya adalah kovarian karena dapat didorong ke depan . Lihat pula Kovarian dan kontradiksi vektor.

Fungtor berlawananSunting

Setiap functor   menginduksi fungsi berlawanan  , dimana   dan   adalah kategori berlawanan ke   dan  .[6] Menurut definisi,   memetakan objek dan morfisme secara identik ke  . Karena   tidak sesuai dengan   sebagai kategori, dan juga untuk  ,   is dibedakan dari  . Misalnya saat menulis   with  , seseorang harus menggunakan keduanya   or  . Perhatikan bahwa, mengikuti properti kategori berlawanan,  .

Bifunctor dan multifunctorSunting

Bifungtor (juga dikenal sebagai fungtor biner) adalah fungtor yang ranahnya adalah kategori produk. Misalnya, fungtor Hom adalah tipe Cop × CSet. Ini dapat dilihat sebagai fungtor dalam argumen dua. Fungtor Hom adalah contoh alami; itu bertentangan dalam satu argumen, kovarian di argumen lain.

Multifungtor adalah generalisasi dari konsep fungtor ke variabel n. Jadi, misalnya, bifungtor adalah multifungtor dengan n = 2.

ContohSunting

Diagram: Untuk kategori C dan J , diagram tipe J dalam C adalah fungsi kovarian  .

Pragemal (teori kategori): Untuk kategori C dan J , a J -presheaf pada C adalah fungsi kontravarian  .

Pragemal: Jika X adalah ruang topologi, maka himpunan terbuka di X membentuk himpunan terurut parsial Open(X) di bawah penyertaan. Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian, Open( X ) membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah UV jika dan hanya jika  . Fungsional kontravarian pada Open ( X ) disebut pragemal pada X . Misalnya, dengan menetapkan ke setiap set terbuka U aljabar asosiatif dari fungsi kontinu bernilai nyata pada U , salah satunya memperoleh pragemal dari aljabar di X .

Fungtor konstan: Fungtor CD yang memetakan setiap objek C ke objek tetap X di D dan setiap morfisme di C ke morfisme identitas di X . Functor seperti itu disebut functor konstan atau pilihan .

Endofungtor: Fungtor yang memetakan kategori ke kategori yang sama; misalnya, fungsi polinomial.

Fungtor identitas: dalam kategori C , tertulis 1C atau idC, memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri. Functor identitas adalah endofungtor.

Fungtor diagonal: Fungtor diagonal didefinisikan sebagai functor dari D ke kategori fungtor D C yang mengirimkan setiap objek dalam D ke Functor konstan pada objek itu.

Limit fungsi: Untuk tetap kategori indeks J , jika semua functor JC memiliki limit (misalnya jika C selesai), maka fungsi limit CJC menetapkan batasnya ke setiap fungtor. Keberadaan fungtor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah adjoin kanan ke diagonal fungtor dan menjalankan teorema fungtor adjoin Freyd. Ini membutuhkan versi yang sesuai dari aksioma pilihan. Komentar serupa berlaku untuk fungotor kolimit (yang menetapkan kolom ke setiap functor, dan merupakan kovarian).

Himpunan daya: Himpunan fungtor daya P : SetSet memetakan setiap himpunan ke himpunan daya dan setiap fungsinya   ke peta order   ke citranya  . Salah satunya juga dapat mempertimbangkan fungtor himpunan daya kontravarian order   ke peta yang mengirim   ke citra balikannya  

Kaitannya dengan konsep kategoris lainnyaSunting

Misalkan C dan D menjadi kategori. Kumpulan semua fungsi dari C hingga D membentuk objek dari kategori: kategori fungtor. Morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara fungsi.

Functor sering didefinisikan oleh sifat universal; contohnya adalah produk tensor, jumlah langsung dan produk langsung dari grup atau ruang vektor, konstruksi grup dan modul bebas, limit langsung dan invers. Konsep limit dan kolimit merampat beberapa hal di atas.

Konstruksi semesta sering kali memunculkan pasangan.

Implementasi komputerSunting

Functor terkadang muncul di pemrograman fungsional. Misalnya, bahasa pemrograman Haskell memiliki kelas Functor where fmap adalah fungsi politik yang digunakan untuk memetakan fungsi (morfisme pada Hask, kategori tipe Haskell)[7] di antara tipe-tipe yang ada untuk fungsi di antara suatu tipe-tipe baru.[8]

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, New York: Springer-Verlag, hlm. 30, ISBN 978-3-540-90035-1 
  2. ^ Carnap, Rudolf (1937). The Logical Syntax of Language, Routledge & Kegan, pp. 13–14.
  3. ^ Jacobson (2009), p. 19, def. 1.2.
  4. ^ Jacobson (2009), hlm. 19–20.
  5. ^ Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Theory of categories. Dordrecht: Springer. hlm. 12. ISBN 9789400995505. Diakses tanggal 23 April 2016. 
  6. ^ Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory, Springer, ISBN 978-0-387-97710-2 
  7. ^ Tidak sepenuhnya jelas bahwa tipe data Haskell benar-benar membentuk sebuah kategori. Lihat https://wiki.haskell.org/Hask for more details.
  8. ^ See https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell for more information.

ReferensiSunting

Pranala luarSunting

Templat:Teori kategori Templat:Functors