Vektor koordinat

Dalam aljabar linear, sebuah vektor koordinat merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah sebuah basis terurut khusus.[1] Koordinat selalu ditentukan relatif terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat iringnya membiarkan satunya mewujudkan ruang vektor dan transformasi linear secara konkret sebagai vektor kolom, vektor baris, dan matriks; mereka berguna dalam perhitungan.

Gagasan mengenai sebuah vektor koordinat dapat juga digunakan untuk ruang vektor berdimensi takhingga, seperti yang ditujukan di bawah.

DefinisiSunting

Misalkan   menjadi sebuah ruang vektor dimensi   atas sebuah medan   dan misalkan

 

menjadi sebuah basis terurut untuk  . Maka untuk setiap   terdapat sebuah kombinasi linear tunggal dari vektor basis yang sama dengan  :

 

Vektor koordinat   relatif terhadap   barisan koordinat.

 

Ini juga disebut wakilan   terhadap  , atau   mewakili  .   disebut koordinat  . Urutan dari basis menjadi penting disini, karena ini menentukan urutan di mana koefisiennya didaftarkan dalam vektor koordinat.

Vektor koordinat mengenai ruang vektor berdimensi hingga dapat diwakili oleh matriks sebagai vektor kolom atau baris. Di notasi di atas, salah satunya dapat tulis

 

atau

 

Wakilan standarSunting

Kita sekarang memekanisi transformasi di atas dengan mendefinisikan sebuah fungsi  , disebut wakilan standar   terhadap  , yang mengambil setiap vektor ke wakilan koordinatnya:  . Maka   merupakan sebuah transformasi linear dari   ke  . Faktanya, ini merupakan sebuah isomorfisme, dan inversnya   adalah sederhana

 

Secara alternatif, kita dapat mendefinisikan   menjadi fungsi di atas daro fungsi awalnya, mewujudkan bahwa   merupakan sebuah isomorfisme, dan mendefinisikan   menjadi inversnya.

Contoh-contohSunting

Contoh 1Sunting

Misalkan P3 menjadi ruang dari semua polinomial aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu eksponen tertinggi   bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:

 

memadankan

 

maka vektor koordinat berpadanan ke polinomial

 

adalah

 

Menurut wakilan tersebut, operator pendiferensialan   yang kita akan tandai   akan diwakili oleh matriks berikut:

 

Menggunakan metode tersebut mudah untuk meninjau sifat-sifat dari operator, seperti, keterbalikan, Hermite atau anti-Hermite atau tidak ada, dan banyak lagi.

Contoh 2Sunting

Matriks Pauli, yang mewakili operatorn spin ketika mengubah eigenkeadaan spin menjadi koordinat vektor.

Matriks transformasi basisSunting

Misalkan   dan   menjadi dua basis yang berbeda mengenai sebuah ruang vektor  , dan misalkan kita tandai dengan  , matriks yang memiliki kolom terdiri dari wakilan   dari vektor basis  .

 

Matriks ini dirujuk sebagai matriks transformasi basis dari   dan  . Ini dapat dianggap sebagai sebuah keautomorfan atas  . Setiap vektor   diwakili dalam   dapat berubah menjjadi sebuah wakilan dalam   sebagai berikut: 

 

Jika   merupakan basis standar, notasinya dapat disederhanakan dengan menghilangkannya, denan transformasi dari   ke   mewakili

 

dimana

 

Di bawah transformasi basis, perhatikan bahwa superskripsi pada matriks transformasi,  , dan subskrip pada vektor koordinat,  , adalah sama, dan rupanya dibatalkan, meninggalkan subskrip yang tersisa. Meskipun ini disajikan sebagai sebuah bantuan ingatan, ini penting untuk memperhatikan bahwa tidak ada pembatalan, atau operasi matematis yang serupa, mengambil tempatnya.

KorolariSunting

Matriks   merupakan sebuah matriks terbalikkan dan   adalah matriks transformasi basis dari   ke  . Dengan kata lain,

 

Ruang vektor dimensi takhinggaSunting

Andaikan   adalah sebuah ruang vektor berdimensi takhingga atas sebuah medan  . Jika dimensinya adalah  , maka terdapat suatu basis unsur   untuk  . Setelah sebuah urutan dipilih, basisnya dapat dianggap sebuah basis terurut. Unsur   adalah kombinasi linear hingga mengenai unsur dalam basis, yang memunculkan ke wakilan koordinat tunggal persis sebagai diutarakan sebelumnya. Yang hanya berubah adalah bahwa himpunan pengindkesan untuk korodinat bukanlah hingga. Karena sebuah vektor   yang diberikan merupakan sebuah kombinasi linear hingga mengenai unsur basis, hanya entri-entri taknol dari vektor koordinat   akan menjadi koefisien taknol dari kombinasi linear yang mewakili  . Demikian vektor koordnat untuk   adalah nol kecuali dalam banyak entri.

Transformasi linear (mungkin) antara ruang vektor berdimensi takhingga dapat dimodelkan, secara analog ke kasus berdimensi hingga, dengan matriks takhingga. Kasus khusus dari transformasi   ke   digambarkan dalam artikel gelanggang linear penuh.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.