Titik tetap (matematika)

Dalam matematika, titik tetap (juga dikenal sebagai titik invarian[1]) adalah nilai yang tetap sama setelah suatu transformasi diperlakukan atas titik itu. Lebih tepatnya, titik tetap dari fungsi yang didefinisikan dari suatu himpunan ke dirinya sendiri adalah titik (anggota) pada himpunan tersebut yang dipetakan ke dirinya sendiri,[2].

Suatu fungsi dengan tiga titik tetap (setidaknya yang tampak dalam grafik).

Sebagai contoh, pada bidang, transformasi pencerminan memiliki titik tetap yaitu titik-titik sepanjang sumbu pencerminannya; perputaran memiliki titik tetap pada sumbu perputarannnya, pergeseran tidak memiliki titik tetap[3]. Lagi, fungsi kebalikan punya dua titik tetap, yakni dan .

Titik tetap suatu fungsi

sunting

Secara formal, misalkan   suatu fungsi yang daerah asalnya adalah suatu himpunan  , atau himpunan bagian dari  , dan daerah sekawannya adalah   juga. Titik tetap fungsi   adalah suatu titik (anggota) pada himpunan   yang dipetakan ke dirinya sendiri, yakni   sedemikian sehingga  .[4]

Sebagai contoh, jika   terdefinisi pada bilangan riil dengan

 
maka 2 adalah titik tetap dari  , karena  .

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua fungsi punya titik tetap: misalnya, f(x) = x + 1, tidak memiliki titik tetap, sebab   tidak akan pernah sama dengan x + 1 untuk setiap bilangan riil.

Secara grafik, jika   suatu titik tetap fungsi   maka titik   berada pada garis  , atau dengan kata lain, grafik fungsi   berpotongan dengan garis   di titik  .

Iterasi titik tetap

sunting

Iterasi (lelaran[5]) titik tetap adalah salah satu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu fungsi, dengan jalan mencari titik tetap fungsi tersebut. Metode ini disandarkan pada prinsip pemetaan kontraksi. Gagasannya, diberikan suatu fungsi   dengan domain dan kodomain yang sama, beserta titik   pada domain  , maka iterasi titik tetapnya ialah

 

yang menghasilkan barisan   dari penerapan fungsi teriterasi   yang diharapkan akan konvergen ke suatu titik  . Apabila   kontinu, maka dapat dibuktikan kalau nilai   yang telah diperoleh adalah titik tetap dari  .

Titik-titik yang kembali ke nilai yang sama setelah suatu iterasi berhingga dari suatu fungsi disebut titik periodik. Titik tetap adalah titik periodik dengan periode sama dengan satu.

Titik tetap dari suatu tindakan grup

sunting
  • diberikan grup G yang bertindak himpunan X dengan tindakan grup   dari kiri. Elemen x di X disebut sebagai titik tetap dari g jika  .
  • Misalkan f adalah suatu automorfisme dari grup G. Maka, himpunan   yang didefinisikan sebagai

 
merupakan subgrup dari G, yang biasa dikenal sebagai Subgrup titik tetap
  • Misalkan f adalah suatu automorfisme dari gelanggang R. Maka, himpunan   yang didefinisikan sebagai

 
merupakan subgelanggang dari R, yang biasa dikenal sebagai Subgelanggang titik tetap

Teorema titik tetap

sunting

Teorema titik tetap adalah hasil yang menyatakan bahwa setidaknya terdapat satu titik tetap, dalam suatu kondisi tertentu.[6] Beberapa penulis mengklaim bahwa hasil semacam ini adalah salah satu yang secara umum paling berguna dalam matematika.[7]

Penerapan

sunting

Dalam banyak bidang, konsep Ekuilibrium atau stabilitas adalah konsep dasar yang bisa dijelaskan dengan konsep titik tetap. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut.

  • dalam geometri proyektif, titik tetap suatu homografi disebut sebagai titik ganda (bahasa Inggris: double point).[8][9]
  • Dalam ilmu ekonomi, kesetimbangan Nash dari teori permainan adalah titik tetap dari korespondensi tanggapan terbaik permainan tersebut. John Nash mengeksploitasi teorema titik tetap Kakutani dalam seminal paper miliknya, yang membuatnya memenangkan hadiah nobel di bidang ekonomi.
  • Kompilator bahasa pemrograman menggunakan perhitungan titik tetap untuk analisis program, misalnya dalam analisis aliran data, yang terkadang diperlukan untuk optimalisasi kode. Titik tetap juga merupakan konsep inti yang digunakan oleh program umum dalam metode analisis penafsiran abstrak.[10]
  • Vektor dari nilai-nilai PageRank dari semua laman web adalah titik tetap dari transformasi linier yang diperoleh dari struktur pranala Waring Wera Wanua.
  • Distribusi Stasioner suatu rantai Markov adalah titik tetap dari fungsi peluang transisi satu langkah.
  • Logikawan Saul Kripke menggunakan titik tetap dalam teori tentang kebenaran miliknya. Dia menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuat predikat yang hanya benar sebagian (predikat yang tidak terdefinisi nilai kebenarannya, untuk tipe kalimat yang bermasalah, seperti "Kalimat ini tidaklah benar"), dengan mendefinisikan "kebenaran" secara rekursif, starting from the segment of a language that contains no occurrences of the word, and continuing until the process ceases to yield any newly well-defined sentences (proses ini memakan terhitung tak-berhingga langkah). That is, for a language B, misalkan B′ (dibaca "B-aksen") adalah language generated by adding to L, for each sentence S in B, the sentence "S is true." Titik tetap akan tercapai apabila B′ itu B; pada titik ini, kalimat seperti "Kalimat ini tidaklah benar" tetap tidak terdefinisi, sehingga, menurut Kripke, the theory is suitable for a natural language that contains its own truth predicate.

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Fitri Merry Yuliana, S.Pd, M.Si dkk (2014). "Refleksi". Sumber Belajar Kemdikbud. Diakses tanggal 2022-12-28. 
  2. ^ Vanberg, Dale; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2017). Kalkulus. Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, PhD. Jakarta: Erlangga. 
  3. ^ Ryan, Patrick J. (1986). Euclidean and Non-Euclidean Geometry: An Analytic Approach. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511806209. ISBN 978-0-521-27635-1. 
  4. ^ Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. Springer Monographs in Mathematics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-0-387-21593-8. ISBN 978-1-4419-1805-5. 
  5. ^ Rinaldi Munir (2015). Metode Numerik. Bandung: Informatika. 
  6. ^ Brown, R. F., ed. (1988). Fixed Point Theory and Its Applications [Teori Titik Tetap beserta Penerapannya] (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-5080-6. 
  7. ^ Dugundji, James; Granas, Andrzej (2003). Fixed Point Theory [Teori Titik Tetap] (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5. 
  8. ^ Coxeter, H. S. M. (1942). Non-Euclidean Geometry [Geometri Non-Euclides] (dalam bahasa Inggris). University of Toronto Press. hlm. 36. 
  9. ^ Halsted, George Bruce (1906). Synthetic Projective Geometry [Geometri Proyektif Sintetis] (dalam bahasa Inggris). hlm. 27. 
  10. ^ "P. Cousot & R. Cousot, Abstract interpretation: A unified lattice model for static analysis of programs by construction or approximation of fixpoints". 

Pranala luar

sunting