Teorema Apollonius

sebuah teorema yang mengaitkan panjang garis berat segitiga dengan panjang sisinya

Dalam geometri, teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga , jika merupakan sebuah garis berat, maka

Visualisasi dari teorema Apollonius, total luas persegi berwarna merah sama dengan dua kali lipat dari luas persegi panjang biru ditambah dengan luas persegi panjang hijau.
teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema Apollonius. Dalam ilustrasi ini, luas berwarna hijau akan sama akan sama dengan luas daerah berwarna merah

Teorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart. Untuk segitiga sama kaki dengan , garis berat akan tegak lurus dengan , sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga (atau segitiga ). Dari fakta bahwa diagonal-diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang.

Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.

BuktiSunting

 
Bukti teorema Apollonius

Teorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus.[1]

Misalkan segitiga memiliki sisi  , dengan sebuah garis berat   digambar ke sisi  . Misalkan   menjadi panjang dari segmen   yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar   adalah setengah dari  . Misalkan pula sudut dibentuk di antara   dan   adalah   dan  , dengan   menghadap ke sisi   dan   menghadap ke sisi  . Sudut   adalah sudut penggenap dari  , (yakni,  ) sehingga  . Hukum kosinus untuk   dan   menyatakan bahwa

 

Menggabungkan persamaan yang ke pertama dan yang ketiga akan menghasilkan

 

yakni teorema Apollonius itu sendiri.

ReferensiSunting

  1. ^ Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. hlm. 20. 

Pranala luarSunting