Garis berat (geometri)

sebuah segmen garis yang menyambungkan sebuah verteks ke titik tengah dari sisi berhadapan, demikian membagi dua sisi tersebut

Dalam geometri, garis berat segitiga merupakan sebuah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut ke titik tengah dari sisi yang berhadapan, sehingga membagi sisi tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang. Setiap segitiga mempunyai tiga garis berat yang dihubungkan dari titik sudut, dan ketiga garis tersebut berpotongan satu sama lain di titik berat. Dalam segtiga sama kaki dan sama sisi, sebuah garis berat membagi sebarang sudut di titik sudut dengan kedua sisi depan mempunyai panjang yang sama.

Garis berat dan titik berat segitiga.

Konsep garis berat ini memperluas ke bidang empat.

Kaitannya dengan pusat massa

sunting

Setiap garis berat segitiga akan berpotongan di titik berat segitiga, sebuah titik pusat massa dari objek tipis kerapatan seragam tak berhingga yang berimpitan dengan segitiga.[1] Dengan demikian, sebuah objek akan seimbang di perpotongan garis berat. Titik berat segitiga dua kali lebih dekat di sepanjang sebarang garis berat ke sisi dengan garis berat memotongnya, sama halnya dengan titik sudut.

Pembagian luas yang sama

sunting

Masing-masing garis berat membagi luas segitiga menjadi setengah, dan karena itu suatu objek segitiga dengan kerapatan seragam akan seimbang di sebarang garis berat. (Garis-garis lain yang membagi luas segitiga menjadi dua bagian yang sama tidak akan berpotongan di titik berat.)[2][3] Ketiga garis berat segitiga membaginya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dan mempunyai luas yang sama.

Bukti sifat luas yang sama

sunting

Misalkan   adalah sebuah segitiga. Misalkan pula   adalah titik tengah  ,   adalah titik tengah  ,   adalah titik tengah  , dan   adalah titik pusat segitiga.

Berdasarkan definisi,  ,  ,  . Dengan demikian,  ,  ,  , dan  , dengan   mewakili luas segitiga  . Hal ini berlaku karena dalam setiap kasus, kedua segitiga memiliki alas dengan panjang yang sama dan membagi garis tinggi segitiga yang sama dari alas (yang diperluas), dan demikian akan memperoleh luas segitiga yang sama dengan setengah perkalian dari alas dan tinggi segitiga. Oleh karena itu, diperoleh   dan  , sehingga disimpulkan bahwa  Karena  , maka  , dan oleh sebab itu,  . Dengan menggunakan metode yang sama, maka dapat diperlihatkan bahwa  

Tiga segitiga yang kongruen

sunting

Pada tahun 2014, Lee Sallows menemukan teorema berikut:[4]

Garis berat segitiga memisahkannya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dengan luas yang sama dengan tiga pasangan segitiga yang berdampingan akan bertemu di titik tengah  ,   dan  . Jika masing-masing dua segitiga yang berpasangan diputar di titik tengah yang sama sampai bertemu ke sisi yang sama, maka ketiga segitiga baru yang dibentuk oleh gabungan dari masing-masing pasangan dikatakan kongruen.

Rumus yang melibatkan panjang garis berat

sunting

Dengan menggunakan teorema Apollonius, akan didapati panjang garis berat, yang dirumuskan sebagai:

 

dengan  ,   dan   adalah sisi-sisi segitiga terhadap garis berat  ,  , dan   dari titik tengahnya. Dengan demikian, rumus-rumus tersebut akan menyiratkan:[5] 

Sifat-sifat lainnya

sunting

Misalkan   sebuah segitiga, dan misalkan   adalah titik berat segitiga. Misalkan pula   adalah titik tengah  ,   adalah titik tengah  , dan   adalah titik tengah  . Untuk sebarang titik   di bidang  , maka[6] Titik berat segitiga membagi masing-masing garis berat menjadi beberapa bagian dengan perbandingan 2:1. Dengan kata lain, titik berat menjadi dua kali lebih dekat dengan titik tengah sisi segitiga, sama halnya dengan titik sudut yang berhadapan.

Untuk sebarang segitiga dengan sisi   dan garis berat  ,[7]

 

Garis berat dari sisi   dan   tegak lurus jika dan hanya jika  .[8]

Garis berat segitiga siku-siku dengan hipotenusa   memenuhi  .

Untuk sebarang luas segitiga  , dapat dinyatakan dalam garis berat  ,  , dan   sebagai berikut: Jika semi-jumlah   dinyatakan sebagai  , maka dipunyai[9] 

Bidang empat

sunting
 
Garis berat dari bidang empat 

Bidang empat (atau tetrahedron) merupakan sebuah objek dalam dimensi tiga yang mempunyai empat muka segitiga. Sebuah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut bidang empat ke titik berat dari muka yang berhadapan disebut garis berat bidang empat. Dalam bidang empat, terdapat empat garis berat yang setumpu di titik berat bidang empat.[10] Pada kasus dimensi dua, titik berat bidang empat merupakan pusat massa. Akan tetapi, kebalikan dengan kasus berdimensi dua, titik berat membagi garis dengan perbandingan 3:1, bukan 2:1. (teorema Commandino).

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. hlm. 375–377. ISBN 9781420035223. 
  2. ^ Bottomley, Henry. "Medians and Area Bisectors of a Triangle". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-05-10. Diakses tanggal 27 September 2013. 
  3. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108. DOI 10.2307/3615256
  4. ^ Sallows, Lee, "A Triangle Theorem Diarsipkan 2016-04-07 di Wayback Machine." Mathematics Magazine, Vol. 87, No. 5 (December 2014), p. 381
  5. ^ Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. hlm. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Diakses tanggal 2011-04-24. 
  6. ^ Problem 12015, American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
  7. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86–87.
  8. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  9. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle", Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.
  10. ^ Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54

Pranala luar

sunting