Garis berat (geometri)

sebuah segmen garis yang menyambungkan sebuah verteks ke titik tengah dari sisi berhadapan, demikian membagi dua sisi tersebut


Dalam geometri, garis berat atau median segitiga merupakan sebuah segmen garis yang menyambungkan sebuah verteks ke titik tengah dari sisi berhadapan, demikian membagi dua sisi tersebut. Setiap segitiga memiliki tepat tiga garis berat, salah satunya dari setiap verteks, dan semuanya memotong satu sama lain di sentroid segitiga. Dalam kasus segtiga sama kaki dan sama sisi, sebuah garis berat membagi suatu sudut di verteks yang kedua sisi dampingnya adalah sama dengan panjangnya.

Median berat segitiga dan sentroidnya.

Konsep garis berat ini memperluas ke bidang empat.

Hubungan dengan pusat massaSunting

Setiap garis berat segitiga lewat melalui sentroid segitiga, yang merupakan pusat massa objek tipis kerapatan seragam takhingga berimpitan dengan segitiga.[1] Demikian objek akan seimbang pada titik perpotongan dari garis berat. Sentroidnya adalah dua kali lebih dekat dengan suatu garis berat ke sisi yang garis beratnya memotong seperti hal tersebut berasal dari verteksnya.

Pembagian luas yang samaSunting


Setiap garis berat membagi luas dari segitiga menjadi setengah, karena namanya, dan karena merupakan objek segitiga kerapatan seragam akan berimbang pada suatu garis berat. (Suatu garis lainnya yang membagi luas segitiga menjadi dua bagian yang sama tidak lewat melalui sentroid.)[2][3] Ketiga garis beratnya membagi segitiga menjadi enam segitiga yang lebih kecil dari luas yang sama.

Bukti sifat luas yang samaSunting

Anggap bahwa sebuah segitiga  . Misalkan   menjadi titik tengah  ,   menjadi titik tengah  ,   menjadi titik tengah  , dan   menjadi sentroid (lebih umum dilambangkan dengan  ).

Oleh definisi,  ,  ,  . Demikian,  ,  ,  , dan  , dimana   mewakili luas segitiga  , ini berlaku karena dalam setiap kasus, kedua segitiga memiliki alas dengan panjang yang sama dan membagi sebuah ketinggian bersama dari alas (yang diperluas), dan sebuah luas segitiga sama dengan setengah alasnya dikali tingginya.

Kita mempunyai:

 
 

Demikian,   dan  ,  .

Karena  ,  , oleh karena itu,  . Menggunakan metode yang sama, salah satunya dapat menunjukkan bahwa  

Tiga segitiga yang kongruenSunting

Pada tahun 2014, Lee Sallows menemukan teorema berikut:[4]

Garis berat suatu segitiga memisahkannya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dengan luas yang sama seperti gambar di atas dimana tiga pasangan damping segitiga bertemu di titik tengah  ,   dan  . Jika dua segitiga dalam masing-masing pasangan diputar mengenai titik tengah bersamanya sampai mereka bertemu supaya membagi sebuah sisi bersama, maka ketiga segitiga barunya yang dibentuk oleh gabungan setiap pasangan adalah kongruen.

Rumus-rumus yang melibatkan panjang titik tengahSunting

Panjang dari titik tengah dapat diperoleh dari teorema Apollonius sebagai:

 ,
 ,
 ,

dimana  ,   dan   adalah sisi dari segitiga terhadap garis berat  ,  , dan   dari titik tengahnya

Demikian, kita mempunyai hubungannya:[5]

 ,
 ,
 .

Sifat-sifat lainnyaSunting

Misalkan   menjadi sebuah segitiga, misalkan   menjadi sentroidnya, dan misalkan  ,  , dan   masing-masing menjadi titik tengah  ,  , dan  . Untuk suatu titik   dalam bidang  , maka

 .[6]

Sentroidnya membagi setiap garis berat menjadi bagian-bagian dalam rasio 2:1, dengan sentroid menjadi dua kali lebih dekat dengan titik tengah sisi seperti hal tersebut ke verteks hadapan.

Untuk suatu segitiga dengan sisi   dan garis berat  ,[7]

 

dan

 .

Garis berat dari sisi panjang   dan   tegak lurus jika dan hanya jika  .[8]

Garis berat segitiga siku-siku dengan hipotenusa   memenuhi  .

Suatu luas segitiga   dapat diungkapkan dalam istilah garis berat  ,  , dan   sebagai berikut. Dengan melambangkan semi-jumlahnya   sebagai  , kita mempunyai[9]

 

Bidang empatSunting

 
Garis berat bidang empat
 


Sebuah bidang empat merupakan objek bidang berdimensi tiga yang memiliki empat muka segitiga. Sebuah segmen garis menyambungkan sebuah verteks bidang empat dengan sentroid dari muka berhadapan disebut sebuah garis berat dari bidang empat. Terdapat empat garis berat, dan semuanya setumpu di sentroid dari bidang empat.[10] Karena ini dalam kasus berdimensi dua, sentroid bidang empat merupakan pusat massa. Namun kebalikan dengan kasus berdimensi dua, sentroid membagi garis berarti tidak di rasio 2:1, tetapi di rasio 3:1 (teorema Commandino).

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. hlm. 375–377. ISBN 9781420035223. 
  2. ^ Bottomley, Henry. "Medians and Area Bisectors of a Triangle". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-05-10. Diakses tanggal 27 September 2013. 
  3. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108. DOI 10.2307/3615256
  4. ^ Sallows, Lee, "A Triangle Theorem" Mathematics Magazine, Vol. 87, No. 5 (December 2014), p. 381
  5. ^ Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. hlm. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Diakses tanggal 2011-04-24. 
  6. ^ Problem 12015, American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
  7. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86–87.
  8. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  9. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle", Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.
  10. ^ Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54

Pranala luarSunting

Weisstein, Eric W. "Triangle Median". MathWorld.