Pecahan taktereduksi

sebuah pecahan di mana pembilang dan penyebut adalah bilangan bulat yang tidak memiliki pembagi persekutuan selain 1 (dan -1, dimana bilangan negatif dianggap)

Sebuah pecahan taktereduksi (atau pecahan dalam suku terendah, bentuk sederhana, atau bentuk tereduksi) merupakan sebuah pecahan di mana pembilang dan penyebut adalah bilangan bulat yang tidak memiliki pembagi persekutuan selain 1 (dan -1, dimana bilangan negatif dianggap)[1] Dengan kata lain, sebuah pecahan adalah taktereduksi jika dan hanya jika dan koprima, yaitu, jika dan memiliki sebuah pembagi persekutuan terbesar dari 1. Dalam matematika yang lebih tinggi, "pecahan taktereduksi" juga dapat dirujuk ke pecahan rasional sehingga pembilang dan penyebut adalah polinomial koprima.[2] Setiap bilangan rasional positif dapat diwakili sebagai sebuah pecahan taktereduksi tepat pada satu cara.[3]

Sebuah definisi yang setara terkadang berguna: jika , adalah bilangan bulat, maka pecahan adalah taktereduksi jika dan hanya jika tidak ada pecahan yang sama sehingga atau , dimana berarti nilai mutlak .[4] (Dua pecahan dan adalah sama atau setara jika dan hanya jika .)

Contohnya, , , dan adalah pecahan taktereduksi semua. Di sisi lain, adalah tereduksi karena ini sama dalam nilai , dan pembilang lebih kecil dari pembilang .

Sebuah pecahan yang merupakan tereduksi dapat direduksi dengan membagi kedua pembilang dan penyebut oleh sebuah faktor persekutuan. Ini dapat tereduksi penuh ke suku terkecil jika keduanya dibagi oleh pembagi persekutuan terbesar.[5] Dalam rangka untuk mencari pembagi persekutuan terbesar, algoritme Euclides atau faktorisasi prima dapat digunakan. Algoritme Euclides umumnya lebih disukai karena ini memungkinkan salah satunya untuk mereduksi pecahan dengan pembilang dan penyebut yang terlalu besar menjadi difaktorkan dengan mudah.

ContohSunting

 .

Dalam langkah pertama, kedua bilangan dibagi dengan 10, yang mana sebuah persekutuan faktornya untuk 120 dan 90. Dalam langkah kedua, mereka dibagi oleh 3. Hasil akhirnya,   merupakan sebuah pecahan taktereduksi karena 4 dan 3 tidak memiliki faktor persekutuan selain 1.

Pecahan asalnya dapat juga tereduksi dalam sebuah langkah yang tunggal dengan menggunakan pembagi persekutuan terbesar dari 90 dan 120, yang hasilnya 30 (Yaitu,  ). Karena  , dan  , salah satunya mendapatkan

 .

Yang metodenya lebih cepat "manual" bergantung pada pecahan dan faktor persekutuannya mudah terlihat. Dalam kasus sebuah penyebut dan pembilang tetap bahwa terlalu besar untuk memastikan mereka adalah koprima oleh pengamat, sebuah penghitungan pembagi persekutuan terbesar dibutuhkan bagaimanapun juga untuk memastikan pecahan tersebut sebenarnya taktereduksi.

KetunggalanSunting

Setiap bilangan rasional memiliki sebuah wakilan tunggal karena sebuah pecahan taktereduksi dengan sebuah penyebut positif[3] (namun   meskipun keduanya adalah taktereduksi). Ketunggalannya adalah keakibatan dari faktorisasi prima tunggal bilangan bulat, karena   menyiratkan   dan demikian kedua ruas dari terakhir harus membagi faktorisasi prima yang sama, namun   dan   tidak membagi faktor prima sehingga himpunan faktor bilangan prima   (dengan kegandaan) merupakan sebuah himpunan bagian dari   dan sebaliknya berarti   dan  .

PenerapanSunting

Fakta bahwa suatu bilangan rasional memiliki sebuah wakilan tunggal sebagai sebuah pecahan taktereduksi dimanfaatkan dalam beragam bukti dari keirasionalan akar kuadrat dari 2 dan bilangan irasional lainnya. Misalnya, salah satu bukti mencatat bahwa jika akar kuadrat dari 2 dapat diwakili sebagai rasio bilangan bulat, maka ini akan khususnya wakilan tereduksi penuh   dimana   dan   adalah kemungkinan terkecil, tapi diberikan bahwa   sama dengan akar kuadrat dari 2, jadi   (karena perkalian silang ini dengan   menunjukkan bahwa mereka adalah sama). Karena yang terakhir merupakan sebuah rasio bilangan bulat terkecil; ini merupakan sebuah kontradiksi, jadi alasannya bahwa akar kuadrat dari dua memiliki sebuah wakilan sebagai rasio dua bilangan bulat adalah palsu.

PerampatanSunting

Gagasan pecahan taktereduksi merampat ke medan pecahan mengenai suatu ranah faktorisasi tunggal; suatu unsur seperti sebuah medan dapat ditulis sebagai sebuah pecahan di mana penyebut dan pembilang adalah koprima, dengan membagi keduanya pembagi persekutuan terbesarnya.[6] Ini menerapkan terutama dengan ungkapan rasional atas medan. Pecahan taktereduksi untuk sebuah elemen yang diberikan adalah tunggal hingga perkalian dari penyebut dan pembilang dengan unsur terbalikkan yang sama. Dalam kasus dari bilangan rasional, ini berarti bahwa suatu bilangan memiliki dua pecahan taktereduksi, berhubungan dengan sebuah perubahan tanda pembilang dan penyebut menjadi positif. Dalam kasus fungsi rasional penyebut dengan serupa diperlukan menjadi sebuah polinomial monik.[7]

Lihat pulaSunting

  • Pembatalan aneh, sebuah prosedur aritmetika keliru yang menghasilkan pecahan taktereduksi yang benar dengan membatalkan digit dari bentuk tidak tereduksi asalnya.
  • Hampiran Diophantus, hampiran bilangan real oleh bilangan rasional.

ReferensiSunting

  1. ^ Stepanov, S. A. (2001) [1994], "Fraction", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  2. ^ E.g., see Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002, Springer, hlm. 155 
  3. ^ a b Scott, William (1844), Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College, College text books, Sandhurst. Royal Military College, 1, Longman, Brown, Green, and Longmans, hlm. 75 .
  4. ^ Scott (1844), hlm. 74.
  5. ^ Sally, Judith D.; Sally, Paul J., Jr. (2012), "9.1. Reducing a fraction to lowest terms", Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers, MSRI mathematical circles library, 10, American Mathematical Society, hlm. 131–134, ISBN 9780821887981 .
  6. ^ Garrett, Paul B. (2007), Abstract Algebra, CRC Press, hlm. 183, ISBN 9781584886907 .
  7. ^ Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 242, Springer, Lemma 9.2, p. 183, ISBN 9780387715681 .

Pranala luarSunting

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Reduced Fraction". MathWorld.