Grup siklik lokal

Dalam teori grup, grup siklik lokal adalah grup ( G , *) di mana setiap subgrup yang dihasilkan secara hingga adalah siklik.

Beberapa fakta

• Setiap grup siklik adalah siklik lokal, dan setiap grup siklik lokal adalah abelian.
• Setiap grup siklik lokal yang dihasilkan secara halus adalah siklik.
• Setiap subgrup dan grup hasil bagi dari grup siklik lokal adalah siklik lokal.
• Setiap gambar Homomorphic dari grup siklik lokal adalah siklik lokal.
• Grup adalah siklus lokal jika dan hanya jika setiap pasangan elemen dalam grup menghasilkan grup siklik.
• Sebuah grup bersiklus secara lokal jika dan hanya jika kisi subgrup adalah distributif (Ore 1938).
• Peringkat bebas torsi dari grup siklik lokal adalah 0 atau 1.
• Gelanggang endomorfisma dari grup siklik lokal adalah komutatif.

Contoh grup siklik lokal yang bukan siklik

• Grup aditif dari bilangan rasional (Q, +) adalah siklus lokal - pasangan bilangan rasional apa pun a / b dan c / d terdapat dalam subgrup siklik yang dihasilkan oleh 1/bd.
• Gugus aditif dari bilangan rasional diadik s, bilangan rasional bentuknya a/2^b, juga siklik lokal, pasangan bilangan rasional diadik apa pun a/2^b dan c/2^d dimuat dalam subgrup siklik yang dibuat oleh 1/2^max(b,d).
• Karena p menjadi bilangan prima apapun, dan maka μ_p^∞ menunjukkan himpunan semua p akar persatuan pada C, yaitu

$\mu _{p^{\infty }}=\left\{\exp \left({\frac {2\pi im}{p^{k}}}\right):m,k\in \mathbb {Z} \right\}$

Kemudian μ_p^∞ adalah siklik lokal tetapi bukan siklik. Ini adalah grup Prüfer. Grup Prüfer 2 terkait erat dengan rasio diadik (dapat dilihat sebagai rasio diad modulo 1).

Contoh grup abelian yang bukan siklik lokal

• Grup aditif dari bilangan riil (R, +) bukan siklus lokal subgrup yang dihasilkan oleh 1 dan π terdiri dari semua bilangan berbentuk a + bπ. Grup ini isomorfik ke jumlah langsung Z + Z, dan grup ini bukan siklik.

Referensi

• Hall, Marshall, Jr. (1999), "19.2 Locally Cyclic Groups and Distributive Lattices", Theory of Groups, American Mathematical Society, hlm. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8 .

• Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II" (PDF), Duke Mathematical Journal, 4 (2): 247–269, doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3, MR 1546048, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2022-12-09, diakses tanggal 2020-12-16 .

• Rose, John S. (2012) [Penerbitan ulang lengkap dan utuh dari sebuah karya yang pertama kali diterbitkan oleh Cambridge University Press, Cambridge, Inggris, pada tahun 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7.