Buka menu utama
Kurva hipereliptik didefinisikan oleh hanya memiliki titik rasional yang banyaknya hingga (seperti titik dan ) menurut teorema Faltings.

Dalam matematika, geometri aritmetik, secara kasar, adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terhadap permasalahan pada teori bilangan.[1] Geometri aritmetik berpusat di sekitar geometri Diophantus, ilmu yang mempelajari titik rasional dari varietas aljabar.[2][3]

Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetik dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari skema tipe hingga di atas spektrum gelanggang bilangan bulat.[4]

Tinjauan luasSunting

Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetik adalah titik rasional: himpunan penyelesaian sistem persamaan polinomial di atas medan bilangan, medan hingga, medan p-adic, atau medan fungsi, dengan kata lain adalah medan yang tidak tertutup secara aljabar kecuali bilangan real. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh fungsi tinggi yang mengukur kekompleksan aritmetik mereka.[5]

Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, kohomologi étale menyediakan invarian topologis yang berkaitan dengan varietas aljabar.[6] Teori p-adic Hodge memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas bilangan kompleks meluas ke atas medan p-adic.[7]

SejarahSunting

Abad ke-19: awal geometri aritmetikSunting

Pada awal abad ke-19, Carl Friedrich Gauss mengamati bahwa solusi bilangan bulat tak nol pada persamaan polinomial homogen dengan koefisien rasional ada jika solusi rasional tak nol ada.[8]

Pada 1850-an, Leopold Kronecker merumuskan teorema Kronecker–Weber, memperkenalkan teori pembagi, dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan aljabar. Ia kemudian mengonjekturkan "liebster Jugendtraum"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai masalah keduabelasnya, yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi gelanggang polinomial di atas bilangan bulat.[9]

Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur WeilSunting

Pada akhir 1920-an, André Weil mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke teorema Mordell–Weil yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari varietas abel merupakan grup abel terbangkit hingga.[10]

Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada aljabar komutatif kontemporer, termasuk teori penilaian dan teori ideal oleh Oscar Zariski dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.[11]

Pada 1949, André Weil mengemukakan konjektur Weil mengenai fungsi zeta lokal dari varietas aljabar di atas medan hingga.[12] Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong Alexander Grothendieck menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan teori gemal (bersama dengan Jean-Pierre Serre), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an.[13] Bernard Dwork membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960.[14] Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan Michael Artin dan Jean-Louis Verdier) pada 1965.[6][15] Konjektur Weil terakhir (analog dari hipotesis Riemann) akhirnya terbukti pada 1974 oleh Pierre Deligne.[16]

Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnyaSunting

Antara 1956 dan 1957, Yutaka Taniyama dan Goro Shimura mengemukakan konjektur Taniyama–Shimura (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan kurva eliptik dengan bentuk modular.[17][18] Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke pembuktian pertama Teorema Terakhir Fermat dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar pengangkatan modularitas yang dikembangkan oleh Andrew Wiles pada 1995.[19]

Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan varietas Shimura sebagai generalisasi kurva modular.[20] Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada program Langlands sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.[21]

Pada makalah tahun 1977 dan 1978, Barry Mazur membuktikan konjektur torsi dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah kurva modular.[22][23] Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh Loïc Merel.[24]

Pada 1983, Gerd Faltings membuktikan konjektur Mordell, mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan pembangkitan hingga himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).[25][26]

Pada 2001, pembuktian konjektur Langlands lokal untuk GLn berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.[27]

Pada 2010-an, Peter Scholze mengembangkan ruang perfektoid dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetik di atas bidang p-adic dengan penerapan wakilan Galois dan sejumlah kasus konjektur bobot-monodromi.[28][29]

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Diakses tanggal 22 Maret 2019. 
  2. ^ Klarreich, Erica (28 Juni 2016). "Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry". Diakses tanggal 22 Maret 2019. 
  3. ^ Poonen, Bjorn (2009). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Diakses tanggal 22 Maret 2019. 
  4. ^ Arithmetic geometry di nLab
  5. ^ Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. hlm. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051. 
  6. ^ a b Grothendieck, Alexander (1960). "The cohomology theory of abstract algebraic varieties". Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. hlm. 103–118. MR 0130879. 
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1967). "Résumé des cours, 1965–66". Annuaire du Collège de France. Paris: 49–58. 
  8. ^ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. hlm. 1. ISBN 978-0125062503. 
  9. ^ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. hlm. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2. 
  10. ^ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
  11. ^ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David, ed. Algebraic surfaces. Classics in mathematics (edisi ke-second supplemented). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915. 
  12. ^ Weil, André (1949). "Numbers of solutions of equations in finite fields". Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393.  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
  13. ^ Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algebriques Coherents". The Annals of Mathematics. 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915. 
  14. ^ Dwork, Bernard (1960). "On the rationality of the zeta function of an algebraic variety". American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631–648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494. 
  15. ^ Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. "Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L". Séminaire Bourbaki. 9. Paris: Société Mathématique de France. hlm. 41–55. MR 1608788. 
  16. ^ Deligne, Pierre (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (43): 273–307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258. 
  17. ^ Taniyama, Yutaka (1956). "Problem 12". Sugaku (dalam bahasa Japanese). 7: 269. 
  18. ^ Shimura, Goro (1989). "Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections". The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186. ISSN 0024-6093. MR 0976064. 
  19. ^ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. 
  20. ^ Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. ISBN 978-0387954158. 
  21. ^ Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF). Dalam Borel, Armand; Casselman, William. Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. hlm. 205–246. 
  22. ^ Mazur, Barry (1977). "Modular curves and the Eisenstein ideal". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287. 
  23. ^ Mazur, Barry (1978). with appendix by Dorian Goldfeld. "Rational isogenies of prime degree". Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129–162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007/BF01390348. MR 0482230. 
  24. ^ Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (dalam bahasa French). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424. 
  25. ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (dalam bahasa Jerman). 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935. 
  26. ^ Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (dalam bahasa Jerman). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554. 
  27. ^ Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Annals of Mathematics Studies. 151. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0. MR 1876802. 
  28. ^ "Fields Medals 2018". International Mathematical Union. Diakses tanggal 2 Agustus 2018. 
  29. ^ Scholze, Peter. "Perfectoid spaces: A survey" (PDF). University of Bonn. Diakses tanggal 4 November 2018.