Pertidaksamaan

kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.

Notasi pertidaksamaanSunting

Notasi Arti Contoh
< lebih kecil
kurang dari
2 < 3
x + 1 < 3
> lebih besar
lebih dari
3 > 2
3x + 1 > 5
lebih kecil atau sama dengan
batas dibawah
maksimum
maksimal
sebanyaknya
paling banyak
tidak lebih dari
sekurangnya
2 ≤ 3
x + 1 ≤ 3
lebih besar atau sama dengan
batas diatas
minimum
minimal
sesedikitnya
paling sedikit
tidak kurang dari
selebihnya
3 ≥ 2
3x + 1 ≥ 5
tidak sama dengan 2 ≠ 3
x + 1 ≠ 3
a < x < b diantara a dan b 2 < x < 5
a ≤ x < b diantara a dan b bila ada a 2 ≤ x < 5
a < x ≤ b diantara a dan b bila ada b 2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b diantara a dan b bila ada a dan b 2 ≤ x ≤ 5
x < a v x > b kurang dari a atau lebih dari b x < 2 v x > 5
x ≤ a v x > b maksimal a atau lebih dari b x ≤ 2 v x < 5
x < a v x ≥ b kurang dari a atau minimal b x < 2 v x ≥ 5
x ≤ a v x ≥ b maksimal a atau minimal b x ≤ 2 v x ≥ 5

Jenis-jenis pertidaksamaanSunting

Pertidaksamaan LinearSunting

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
  (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)
 
 

Pertidaksamaan KuadratSunting

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A ---- N/A +++
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

(-4) (3)
+++ N/A ---- N/A +++
 

Pertidaksamaan IrasionalSunting

Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

  atau  

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi   atau   serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
Irisan 1
 

dibuat harga nol

 
 
 

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2
 

dibuat harga nol

 
 
 
Irisan 3
 
 

gabungkan umum dan syarat

Irisan -2 (0) (4) 5 (10)
pertama tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A tidak
kedua ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
ketiga ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
Irisan 1
 

dibuat harga nol

 
 
 

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2
 

dibuat harga nol

 
 
 
Irisan 3
 
 

gabungkan umum dan syarat

Irisan (-50/3) (-6) (-2) (2) (9)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya
 

Pertidaksamaan PecahanSunting

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

 

di mana   adalah fungsi aljabar dengan   dan   merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
 
 
 

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 

dibuat irisan

2 11/4 3
+++ N/A ---- N/A +++ N/A ----
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 

dibuat irisan

-17 (-7) 3 (5)
+++ N/A ---- N/A +++ N/A ---- N/A +++
 

Pertidaksamaan MutlakSunting

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

Model I
  atau  

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

 
Model II

Jika   atau   maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi   atau  .

Model III

Jika   terkurung maka f(x) menghasilkan   serta -f(x) menghasilkan  .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

 
untuk  
 
  definit +
untuk  
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-4 3
+++ N/A ---- N/A +++
 
 
  • Tentukan nilai x dari persamaan  !
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 - 4x - 12 |
 
batasan f(x)
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A ---- N/A +++
 
batasan -f(x)
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A ---- N/A +++
 
untuk | 7 - 6x |
 
batasan f(x)
 
 
batasan -f(x)
 
 

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan -2 7/6 6
pertama x^2 - 4x - 12 N/A N/A N/A x^2 - 4x - 12
kedua N/A -(x^2 - 4x - 12) N/A -(x^2 - 4x - 12) N/A
ketiga 7 - 6x N/A 7 - 6x N/A N/A
keempat N/A N/A -(7 - 6x) N/A -(7 - 6x)
untuk x <= -2
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

(-6) (-2) (4)
Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A ---- N/A ---- N/A +++
 
untuk -2 < x <= 7/6
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 (0) (7/6) (10)
Tidak N/A Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A +++ N/A ---- N/A ---- N/A +++
 
untuk 7/6 < x < 6
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

(-2) (0) 7/6 6
Tidak N/A Tidak N/A Tidak N/A Ya N/A Tidak
+++ N/A ---- N/A +++ N/A +++ N/A +++
 

untuk x >= 6

 
 
  definit +
 

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:

 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
 
 
 
akar dari  
 
  definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 
akar dari  
 
 

dibuat harga nol

 
 
  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 

dibuat irisan

-6 2* 3 10*
+++ N/A ---- N/A ---- N/A +++ N/A +++
nb: * = mempunyai 2 akar
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

2 5
+++ N/A ---- N/A +++
 

karena ada syarat akar maka:

akar 1
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

0 4
+++ N/A ---- N/A +++
 
akar 2
 
 

gabungkan umum dan syarat

irisan (0) (2) (10/3) (4) (5)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
 

Pertidaksamaan aritmatika dan geometriSunting

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a1, a2, …, an kita punya HGAQ, dimana

  (rata-rata harmonis),
  (rata-rata geometris),
  (rata-rata aritmatika),
  ( rata-rata kuadrat).

Pertidaksamaan Cauchy–SchwarzSunting

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

 

where   adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rn dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

 

Pertidaksamaan pangkatSunting

Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ab, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

ContohSunting

  • Dari bilangan riil x,
 
  • Bila x > 0 dan p > 0, maka
 
Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).
  • Bila x > 0, maka
 
  • Bila x > 0, maka
 
  • Bila x, y, z > 0, maka
 
  • Untuk bilangan riil a dan b ,
 
  • Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka
 
  • Bila x, y, z > 0, maka
 
  • Bila a, b > 0, maka[1]
 
  • Bila a, b > 0, maka[2]
 
  • Bila a, b, c > 0, maka
 
  • Bila a, b > 0, maka
 

Pertidaksamaan yang terkenalSunting

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly. 97 (1): 65–67. doi:10.2307/2324012. JSTOR 2324012. 
  2. ^ Manyama, S. (2010). "Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions" (PDF). Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 7 (2): 1. 

SumberSunting

Pranala luarSunting