Diskriminan

Untuk kegunaan lain, lihat Diskriminan (disambiguasi).

Dalam matematika, Diskriminan dari polinomial adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari akar. Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah fungsi polinomial dari koefisiennya. Diskriminan banyak digunakan dalam pemfaktoran polinomial, teori bilangan, dan geometri aljabar.

Diskriminan kuadrat polinomial $ax^{2}+bx+c\,$ ($a\neq 0$), sering dilambangkan dengan simbol $\Delta$, adalah:

$b^{2}-4ac,$

yang bernilai nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki akar ganda. Dalam kasus koefisien nyata, bernilai positif jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki dua akar nyata yang berbeda. Demikian pula untuk sebuah polinomial kubik, diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki akar ganda. Dalam kasus koefisien nyata, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar konjugasi kompleks berbeda.

Secara lebih umum, diskriminan polinomial derajat positif adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut berakar banyak. Jika koefisiennya nyata, dan tidak ada akar ganda, diskriminan bernilai positif jika jumlah akar non-nyata adalah kelipatan dari 4 (termasuk nol), dan negatif.

Beberapa generalisasi diskriminan polinomial (univariat) juga disebut diskriminan: diskriminan medan bilangan aljabar; yang diskriminan dari bentuk kuadrat; lebih umum, diskriminan dari bentuk, polinomial homogen.

Asal usul Diskriminan

Istilah "diskriminan" diciptakan pada tahun 1851 oleh matematikawan Inggris James Joseph Sylvester.

Definisi

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

menjadi polinomial derajat n (ini berarti $a_{n}\neq 0$), sedemikian rupa sehingga koefisien $a_{0},\ldots ,a_{n}$ milik sebuah bidang, atau, lebih umum, ke cincin komutatif. Resultan dari A dan turunan $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ adalah polinomial pada $a_{0},\ldots ,a_{n}$ dengan koefisien integer, yang merupakan determinan dari matriks Sylvester dari A dan A′. Entri bukan nol dari kolom pertama dari matriks Sylvester adalah $a_{n}$ dan $na_{n},$ dan resultan adalah kelipatan dari $a_{n}.$ Karenanya, diskriminan — hingga tandanya — didefinisikan sebagai hasil bagi dari resultan dari A dan A' dari $a_{n}:$

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$

Secara historis, tanda ini telah dipilih sedemikian rupa sehingga, secara keseluruhan, diskriminan akan menjadi positif ketika semua akar polinomial adalah nyata. Pembagian dengan $a_{n}$ mungkin tidak terdefinisi dengan baik jika gelanggang dari koefisien berisi pembagi nol. Masalah seperti itu dapat dihindari dengan mengganti $a_{n}$ dengan 1 di kolom pertama matriks Sylvester sebelum menghitung determinan. Bagaimanapun, diskriminan adalah polinomial dalam $a_{0},\ldots ,a_{n}$ dengan koefisien bilangan bulat.

Ekspresi dalam hal akar

Ketika polinomial ditentukan di atas bidang, teorema dasar aljabar menyiratkan bahwa ia memiliki akar n , r₁, r₂, ..., r_n, tidak harus semuanya berbeda, dalam ekstensi tertutup aljabar di lapangan.

(Untuk polinomial dengan koefisien nyata, ekstensi tertutup secara aljabar ini umumnya dipilih sebagai bidang bilangan kompleks.)

Dari segi akar, diskriminan sama dengan

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={a_{n}}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j})$

Jadi, ini adalah kuadrat dari polinomial Vandermonde a_n^{2n − 2}.

Ekspresi diskriminan ini sering dianggap sebagai definisi. Jelas bahwa jika polinomial memiliki banyak akar, maka diskriminannya adalah nol, dan jika semua akarnya nyata dan sederhana, maka diskriminan itu positif.

Derajat rendah

Diskriminan dari polinomial linier (derajat 1) jarang dipertimbangkan. Jika diperlukan, biasanya didefinisikan sama dengan 1 (menggunakan konvensi biasa untuk produk kosong dan mempertimbangkan bahwa salah satu dari dua blok matriks Sylvester adalah kosong). Tidak ada ketentuan umum untuk diskriminan polinomial konstan (yaitu polinom dengan derajat 0).

Untuk derajat kecil, diskriminan agak sederhana (lihat di bawah), tetapi untuk derajat yang lebih tinggi, ini mungkin menjadi berat. Misalnya, diskriminan dari sebuah umum kuartik memiliki 16 suku, that of a quintic has 59 terms, dan dari sektik memiliki 246 suku. This is OEIS sequence A007878.

Derajat 2

Polinomial kuadrat $ax^{2}+bx+c\,$ memiliki diskriminan

$b^{2}-4ac\,.$

Akar kuadrat diskriminan muncul di rumus kuadrat untuk akar polinomial kuadrat:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

di mana diskriminan adalah nol jika dan hanya jika kedua akar sama. Jika a, b, c adalah bilangan real, polinomial memiliki dua akar nyata yang berbeda jika diskriminannya positif, dan dua akar konjugasi kompleks jika negatif.

Diskriminan adalah hasil kali dari a ² dan kuadrat dari selisih akar.

Jika a , b , c adalah bilangan rasional, maka diskriminannya adalah kuadrat dari bilangan rasional, jika dan hanya jika keduanya akar adalah bilangan rasional.

Derajat 3

Himpunan nol diskriminan kubik x³ + bx² + cx + d, yaitu poin yang memuaskan b²c² – 4c³ – 4b³d – 27d² + 18bcd = 0.

Polinomial kubik $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ memiliki diskriminan

$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.$

Secara khusus, polinomial $x^{3}+px+q$ memiliki diskriminan

$-4p^{3}-27q^{2}\,.$

Diskriminan menjadi nol jika dan hanya jika setidaknya dua akar sama. Jika koefisiennya adalah bilangan riil, dan diskriminannya bukan nol, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar konjugasi kompleks.

Akar kuadrat dari hasil kali diskriminan oleh −3 (dan mungkin juga dengan kuadrat dari bilangan rasional) muncul dalam rumus untuk akar polinomial kubik.

Jika polinomial tidak dapat direduksi dan koefisiennya adalah bilangan rasional (atau termasuk dalam bidang bilangan), maka diskriminan adalah kuadrat dari bilangan rasional (atau bilangan dari bidang bilangan) jika dan hanya jika kelompok Galois dari persamaan kubik adalah grup siklik berorde tiga.

Derajat 4

Diskriminan dari polinomial kuartik x⁴ + cx² + dx + e. Permukaan mewakili poin (c, d, e) dimana polinomial memiliki akar berulang. Tepi cuspidal berhubungan dengan polinomial dengan akar rangkap tiga, dan perpotongan sendiri berhubungan dengan polinomial dengan dua akar berulang yang berbeda.

Polinomial kuartik $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ memiliki diskriminan

${\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}$

Diskriminan menjadi nol jika dan hanya jika dua atau lebih akar sama. Jika koefisiennya adalah bilangan riil dan diskriminannya negatif, lalu ada dua akar nyata dan dua akar konjugasi kompleks. Begitu pula, jika diskriminannya positif, maka akarnya bisa semua nyata atau semua tidak nyata.

Nol diskriminan

Diskriminan polinomial di atas bidang adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki banyak akar di beberapa ekstensi bidang.

Diskriminan polinomial pada domain integral adalah nol, jika dan hanya jika polinomial tersebut dan turunannya memiliki pembagi persekutuan non-konstan.

Dalam karakteristik 0, ini setara dengan mengatakan bahwa polinomialnya bukan bebas kuadrat (yaitu habis dibagi kuadrat dari polinomial tidak konstan).

Dalam karakteristik bukan nol p , diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut tidak bebas kuadrat atau memiliki faktor tak dapat direduksi yang tidak dapat dipisahkan (yaitu, faktor yang tidak dapat direduksi adalah polinom dalam $x^{p}$).

Pranala luar

• Wolfram Mathworld: Polynomial Discriminant
• Planetmath: Discriminant