Titik kritis (matematika)

Titik kritis adalah istilah umum yang digunakan dalam banyak cabang matematika.

Koordinat sumbu-x dari titik-titik lingkaran merah adalah titik stasioner, sedangkan kotak-kotak biru adalah titik infleksi.

Ketika berhadapan dengan fungsi dari variabel real, titik kritis adalah titik dalam domain fungsi di mana fungsi tersebut tidak dapat didiferensialkan atau nilai turunannya sama dengan nol.[1] Ketika berurusan dengan variabel kompleks, titik kritis adalah, sama halnya, titik dalam domain fungsi yang mengakibatkan fungsi tersebut tidak holomorfik atau turunannya sama dengan nol.[2][3] Demikian juga, untuk fungsi dari beberapa variabel real, titik kritis adalah nilai dalam domainnya sehingga gradiennya tidak terdefinisi atau sama dengan nol.[4]

Nilai fungsi pada titik kritis disebut dengan nilai kritis.

Definisi semacam ini dapat diperumum ke peta terdiferensialkan antara dan . Sebuah titik kritis, dalam hal ini, adalah sebuah titik yang mengakibatkan rank dari matriks Jacobi tidak maksimum. Definisi ini juga dapat diperumum lebih jauh ke peta terdiferensialkan antara lipatan-lipatan terdiferensialkan, sebagai titik-titik yang mengakibatkan rank dari matriks Jacobi berkurang. Dalam hal ini, titik-titik kritis juga disebut titik bifurkasi.

Titik kritis dari fungsi satu variabelSunting

Sebuah titik kritis dari sebuah fungsi variabel satu variabel real,  , adalah sebuah nilai   dalam domain   yang mengakibatkan   tidak terdiferensialkan atau turunannya adalah 0 ( ).[1] Nilai kritis adalah nilai fungsi   di sebuah titik kritis. Konsep-konsep ini dapat divisualisasikan melalui grafik fungsi  : pada titik kritis, grafik akan memiliki garis singgung horisontal. Untuk fungsi terdiferensialkan, titik kritis sama dengan titik stasioner.

Meskipun mudah divisualisasikan dengan grafik (yang merupakan sebuah kurva), pengertian titik kritis dari fungsi tidak dapat disamakan dengan pengertian titik kritis dari kurva (lihat bagian di bawah ini untuk definisi yang lebih rinci). Jika   adalah fungsi dua variabel yang terdiferensialkan, maka   adalah persamaan implisit dari sebuah kurva. Titik kritis dari kurva seperti itu, untuk proyeksi yang sejajar dengan sumbu-y (pemetaan  ), adalah titik pada kurva yang memenuhi

 
Hal ini mengartikan bahwa garis singgung kurva akan sejajar dengan sumbu-y, dan bahwa pada titik ini,   tidak mendefinisikan fungsi implisit dari   ke   (lihat teorema fungsi implisit). Jika   adalah titik kritis, maka   adalah nilai kritisnya. Titik kritis seperti itu juga disebut titik bifurkasi, karena secara umum, ketika nilai   berubah disekitar nilai kritis, akan ada dua cabang kurva di sisi   dan nol di sisi lainnya.

Dari definisi-definisi ini dapat disimpulkan bahwa fungsi terdiferensialkan   memiliki titik kritis   dengan nilai kritis  , jika dan hanya jika   adalah titik kritis dari grafik   untuk proyeksi yang sejajar dengan sumbu-x. Jika   tidak dapat didiferensialkan di   karena garis singgung menjadi sejajar dengan sumbu-y, maka   masih merupakan titik kritis  , namun dalam kasus ini   adalah titik kritis dari grafik fungsi untuk proyeksi yang sejajar dengan sumbu-y. Sebagai contoh, titik kritis dari lingkaran satuan persamaan   adalah   dan   untuk proyeksi sejajar dengan sumbu-x, dan (1, 0) dan (-1, 0) untuk arah sejajar dengan sumbu-y. Jika seseorang menganggap setengah lingkaran atas sebagai grafik fungsi

  maka   adalah titik kritis dengan nilai kritis 1 karena turunannya sama dengan 0, dan   dan   adalah titik kritis dengan nilai kritis 0 karena turunannya tidak terdefinisi.

ContohSunting

  • Fungsi   terdiferensialkan dimanapun, dengan turunan  . Fungsi ini memiliki titik kritis tunggal, yakni -1, yang didapatkan dengan menyelesaikan  . Titik ini adalah minimum global dari  .
  • Fungsi   terdefinisi untuk semua   dan terdiferensialkan untuk  , dengan turunan   Titik   adalah titik kritis satu-satunya fungsi ini, karena   tidak terdiferensialkan di sana dan karena   untuk  . Nilai kritis pada titik tersebut adalah
  • Fungsi nilai absolut   terdiferensialkan dimanapun kecuali pada titik kritis  . Pada titik tersebut fungsi memperoleh nilai minimum globalnya, dengan nilai kritis 0.
  • Fungsi   tidak memiliki titik kritis. Titik   bukan titik kritis karena 0 tidak termasuk dalam domain fungsi tersebut.

ReferensiSunting

  1. ^ a b Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131. 
  2. ^ Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals  (edisi ke-6th). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840. 
  3. ^ Larson, Ron (2010). Calculus. Edwards, Bruce H., 1946- (edisi ke-9th). Belmont, Calif.: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593. 
  4. ^ Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course . Pearson Prentice Hall. hlm. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.