Teori roda

tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, dimana pembagian selalu terdefinisi

Sebuah roda merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, dimana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.

Istilah roda terinspirasi oleh gambar topologis dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan .[1]

Definisi

sunting

Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar  , di mana

  •   merupakan sebuah himpunan,
  •   dan   merupakan elemen dari himpunan tersebut,
  •   dan   merupakan operator biner,
  •   merupakan sebuah operator uner,

dan memenuhi sebagai berikut:

  • Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan   dan   sebagai masing-masing identitasnya.
  •   (  adalah involusi)
  •   (  adalah perkalian)
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Aljabar roda

sunting

Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen   mirip (tapi tak identis) dengan invers perkalian  , sehingga   menjadi tulisan cepat untuk  , tetapi bukan baik   maupun   umumnya, dan memodifikasi aturan aljabar sehingga

  •   dalam kasus umum
  •   dalam kasus umum
  •   dalam kasus umum, karena   tidak sama dengan invers perkalian dari  .

Jika terdapat sebuah elemen   sehingga  , maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan   dan  .

Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah

  •  
  •  
  •  

Dan, untuk   dengan   dan   kita mendapatkan yang biasa

  •  

Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan   merupakan sebuah gelanggang komutatif, dan setiap gelanggang komutatif seperti sebuah subhimpunan dari sebuah roda. Jika   adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka  . Dengan demikian, setiap kali   masuk akal, ini sama dengan  , tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika  .

Contoh

sunting

Roda pecahan

sunting

Misalkan   menjadi sebuah gelanggang komutatif, dan misalkan   menjadi sebuah submonoid perkalian dari  . Mendefinisikan relasi kekongruenan   pada   melalui

  berarti bahwa terdapat suatu   sehingga  .

Mendefinisikan roda pecahan dari   yang terhadap   sebagai kuosien   (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi   sebagai   dengan operasi

            (identitas tambahan)

             (identitas perkalian)

            (operasi timbal-balik)

             (operasi penambahan)

            (operasi perkalian)

Garis proyektif dan bola Riemann

sunting

Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen  , dimana  . Garis proyektif merupakan sendirinya sebagai ekstensi dari medan asli oleh sebuah unsur  , dimana   untuk setiap elemen   dalam medan. Namun,   masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.

Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan   memberikan bentuk yang merupakan sumber dari istilah "roda". Atau dimulai dengan bilangan kompleks sebagai gantinya, "garis" proyektif padanan merupakan sebuah bola (bola Riemann), dan kemudian titik tambahan memberikan sebuah versi 3 dimensi dari sebuah roda.

Kutipan

sunting

Referensi

sunting