Rumus Vieta

rumus antara koefisien pada polinomial bersama angka dan hasil nilai akarnya

Dalam matematika, rumus Vieta adalah rumus antara koefisien pada polinomial bersama angka dan hasil nilai akarnya. Ditemukan oleh François Viète rumus tersebut digunakan secara khusus dalam aljabar.

François Viète matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta[1]

François Viète mendefinisikan rumus tersebut untuk kasus menemukan akar positif. Di masa François Viète, diyakini bahwa hanya ada akar positif dalam persamaan. François Viète percaya bahwa tidak ada akar negatif dan hanya memahami sebagian hubungan antara akar persamaan dan koefisiennya. Pada 1629, matematikawan asal Prancis Albert Girard, menemukan Rumus Vieta bersifat umum, tidak terbatas pada akar nyata positif .

Ada juga spekulasi bahwa formula Viete sebenarnya ditemukan oleh Albert Girard sebelum François Viète. Misalnya, menurut matematikawan asal Inggris pada abad ke-18 Charles Hutton, Albert Girard menulis tentang keadaan umum rumus Vieta dalam karyanya sebelum François Viète.

Rumus Vieta dalam persamaan KuadratSunting

 
Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil x2 + bx + c = 0 dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Perkiraan Vieta tidak akurat untuk yang kecil b tetapi akurat untuk ukuran besar b. Evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat akurat untuk yang kecil b dengan akar dari nilai yang sebanding tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi yang besar b dan akar berjarak lebar. Perbedaan antara perkiraan Vieta versus penghitungan langsung mencapai minimum pada titik-titik besar, dan pembulatan menyebabkan coretan di kurva melebihi minimum ini.

Rumus Vieta memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:

 

dan

 

Hasil ini langsung mengikuti dari relasi:

 

yang dapat dibandingkan istilah demi istilah dengan

 

Rumus pertama di atas menghasilkan ekspresi yang sesuai saat membuat grafik fungsi kuadrat. Karena grafiknya simetris terhadap garis vertikal melalui simpul, ketika ada dua akar nyata, koordinat x titik koordinat terletak di av. Jadi x koordinat dari simpul diberikan oleh ekspresi

 

y koordinat dapat diperoleh dengan mensubstitusi hasil di atas ke dalam persamaan kuadrat yang diberikan, memberikan

 

Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan akar kuadrat dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila | x2| << | x1|, maka x1 + x2x1, dan kami memiliki perkiraan:

 

Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:

 

Rumus-rumus ini jauh lebih mudah untuk dievaluasi daripada rumus kuadrat dengan syarat satu akar besar dan satu akar kecil, karena rumus kuadrat mengevaluasi akar kecil sebagai selisih b), yang menyebabkan kesalahan pembulatan dalam evaluasi numerik. Gambar 5 menunjukkan perbedaan antara (i) evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat (akurat ketika akar memiliki nilai yang berdekatan) dan (ii) evaluasi berdasarkan perkiraan rumus Vieta di atas (akurat ketika akar berjarak lebar). Sebagai koefisien linear b meningkat, awalnya rumus kuadrat akurat, dan rumus perkiraan meningkatkan keakuratannya, yang mengarah ke perbedaan yang lebih kecil antara metode sebagai b meningkat. Namun, pada titik tertentu rumus kuadrat mulai kehilangan akurasinya karena kesalahan pembulatan, sedangkan metode perkiraan terus ditingkatkan. Akibatnya, perbedaan antara metode-metode tersebut mulai meningkat karena rumus kuadrat menjadi semakin buruk.

Situasi ini umumnya muncul dalam desain amplifier, di mana akar yang terpisah jauh diinginkan untuk memastikan operasi yang stabil (lihat respons langkah).

Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.

Jika rumus persamaan kuadrat dirumuskan  

 

Diatas merupakan rumus persamaan kuadrat yang membuktikan rumus kuadrat.

Rumus utamaSunting

Untuk nilai polinomial dengan hasil n

 

Rumus tersebut bersama teorema fundamental aljabar hanya memiliki nila n berbeda dengan akar kompleks r1, r2, ..., rn . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar r1, r2, ..., rn sebagai berikut:

 

Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai

 

Generalisasi gelanggangSunting

Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam ranah integral R. Maka, hasil bagi   memiliki gelanggang pecahan R dan akarnya   diambil dalam ekstensi tertutup aljabar. Biasanya,

Rumus R adalah gelanggang bilangan bulat, medan pecahan adalah medan bilangan rasional dan medan yang ditutup secara aljabar adalah bidang bilangan kompleks.

ContohSunting

Rumus Vieta dapat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar kuadrat dari   dari polinomial kuadrat  , yaitu

 

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari nilai P; lihat Persamaan kuadrat § Rumus Vieta.

Akar kuadrat dari   dari polinomial kubik  , yaitu

 

Pemecahan Masalah Rumus VietaSunting

Menunjukkan bahwa

 

untuk bilangan bulat apa pun  

Dengan ini yang pertama dengan menggunakan teorema De-Moivre untuk bilangan bulat positif m:

 

Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya  :

 

Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan

 

Membiarkan nilai   maka persamaannya dalam u dan jumlah akarnya diberikan oleh   seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai  

 

KeteranganSunting

Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan memperluas persamaan:

 

(yang benar yaitu nilai   apakah semua akar dari polinomial ini), mengalikan faktor-faktor dari sisi kanan, dan mengidentifikasi koefisien dari masing-masing pangkat  

Secara formal, jika ada yang mengembang pada nilai   istilahnya adalah nilai   darimana nilai   adalah 0 atau 1, sesuai dengan apakah   termasuk dalam produk atau tidak, dan k adalah jumlah pada nilai   hal yang ini tidak seharusnya digunakan, jadi jumlah total faktor dalam produk adalah n (dengan perhitungan   dengan keserbaragaman k) sebagaimana adanya nilai n pilihan biner (yang termasuk perhitungan   atau x), dan   istilah tersebut dapat dicari dalam bentuk geometris, hal ini dapat memahami sebagai simpul dari kubusganda. Mengelompokkan persamaan tersebut berdasarkan derajat menghasilkan polinomial simetris dasar di   untuk nilai xk, mendapatkan semua produk lipat pada nilai k yang berbeda dari  

SejarahSunting

Seperti yang tercermin dalam namanya, rumus tersebut ditemukan oleh ahli matematika asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat ahli matematika asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti dikutip oleh Funkhouser,[2] prinsip utama (tidak hanya untuk akar nyata positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard was] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien kekuatan dari jumlah akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk sum.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ 430 tahun
  2. ^ (Funkhouser 1930)

Pranala luarSunting

  • Djukić, Dušan; et al. (2006), Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6 
Katalog perpustakaan
dan Klasifikasi
BlissARS
ColonB2

Aljabar (dari Arab الجبر ("al-djebr" berarti "reuni", "koneksi" atau "penyelesaian")) adalah cabang matematika yang dapat didefinisikan sebagai generalisasi dan perluasan dan difokuskan pada menemukan pola antara kelompok angka, operator, dan objek matematika lainnya. Kategori berikut mencakup artikel tentang aljabar. Aljabar juga merupakan cabang matematika yang menggantikan angka dengan huruf, menggantikan nilai yang tidak diketahui dengan huruf.