grup-p

Artikel ini bukan mengenai grup-N (teori kategori).

Dalam matematika, khususnya teori grup, pada bilangan prima p, a grup-p adalah grup di mana urutan dari setiap elemen adalah daya dari p . Artinya, untuk setiap elemen g dari grup- p G , terdapat bilangan bulat nonnegatif n sehingga produk dari pⁿ salinan g , dan tidak lebih sedikit, sama dengan elemen identitas. Urutan elemen yang berbeda mungkin kekuatan yang berbeda dari p .

Abelian p - grup juga disebut primer-p atau hanya primer.

Sebuah grup terbatas adalah grup p jika dan hanya jika urutan (jumlah elemennya) adalah pangkat dari p . Diberikan grup terbatas G , Teorema Sylow menjamin keberadaan subgrup dari G dengan urutan p ⁿ untuk setiap prime power p ⁿ yang membagi urutan '

Sisa artikel ini membahas grup p terbatas. Untuk contoh grup abelian p tak hingga, lihat Grup Prüfer, dan untuk contoh grup sederhana p tak terbatas, lihat Grup monster Tarski.

Sifat

Setiap grup- p adalah periodik karena menurut definisi setiap elemen memiliki urutan hingga.

Jika p adalah bilangan prima dan G adalah segrup urutan p^k, kemudian G memiliki subgrup biasa p^m untuk setiap 1 ≤ m ≤ k. Ini diikuti oleh induksi, menggunakan Teorema Cauchy dan Teorema Korespondensi untuk grup. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut: karena pusat Z dari G adalah non-trivial (lihat di bawah), menurut Teorema Cauchy Z memiliki subgrup H dari urutan p . Menjadi pusat di G , H selalu normal di G . Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induktif ke G/H , dan hasilnya mengikuti Teorema Korespondensi.

Pusat non-trivial

Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan persamaan kelas adalah bahwa pusat grup p berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.

This forms the basis for many inductive methods in p-groups.

Misalnya, normalizer N dari subgrup yang tepat H dari p terbatas, grup G dengan benar berisi H , karena untuk contoh counter dengan H = N, pusat Z ada di N , dan begitu juga di H , tapi kemudian ada contoh yang lebih kecil H/Z yang normalnya masuk G/Z adalah N/Z = H/Z, menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup p yang terbatas adalah nilpoten.

Di arah lain, setiap subgrup normal dari p terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen N yang diperbaiki ketika G bekerja pada N melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup p terbatas adalah pusat dan memiliki urutan p . Memang, socle dari grup p berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan p .

Jika G adalah grup p -, maka G/Z, dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam G dari pusat G / Z disebut pusat kedua dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah p yang terbatas, grup dengan urutan p ⁿ berisi subgrup normal dari order p ⁱ dengan 0 ≤ i ≤ n, dan subgrup normal manapun pⁱ terkandung di pusat i Z_i. Jika subgrup normal tidak terdapat di Z_i, lalu perpotongannya dengan Z_i+1 memiliki ukuran setidaknya pⁱ⁺¹.

Automorfisme

Grup automorfisme grup p dipelajari dengan baik. Sama seperti setiap grup p yang terbatas memiliki pusat non-trivial sehingga grup automorfisme dalam adalah hasil bagi grup yang tepat, setiap grup p terbatas memiliki non-trivial grup automorfisme luar. Setiap automorfisme dari G menginduksi automorfisme G/Φ(G), dimana Φ(G) adalah subgrup Frattini dari G . Hasil bagi G/Φ(G) adalah grup abelian dasar dan grup automorfisme adalah grup linear umum, jadi sangat dipahami. Peta dari kelompok automorfisme G ke dalam kelompok linier umum ini telah dipelajari oleh Burnside, yang menunjukkan bahwa kernel dari peta ini adalah grup p .

Lihat pula

• Grup elementer
• Peringkat Prüfer
• Grup-P reguler

Referensi

Catatan buku

• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2002), "A millennium project: constructing small groups", International Journal of Algebra and Computation, 12 (5): 623–644, doi:10.1142/S0218196702001115, MR 1935567 
• Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press 
• Glauberman, George (1971), "Global and local properties of finite groups", Finite simple groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969), Boston, MA: Academic Press, hlm. 1–64, MR 0352241 
• Hall Jr., Marshall; Senior, James K. (1964), The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6), London: Macmillan, LCCN 64016861, MR 0168631  — An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface).
• Hall, Philip (1940), "The classification of prime-power groups", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1940 (182): 130–141, doi:10.1515/crll.1940.182.130, ISSN 0075-4102, MR 0003389, diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-03-04, diakses tanggal 2020-12-20 
• Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series, 27, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853548-5, MR 1918951 
• Sims, Charles (1965), "Enumerating p-groups", Proc. London Math. Soc., Series 3, 15: 151–166, doi:10.1112/plms/s3-15.1.151, MR 0169921