Arg max

Dalam matematika, argumen dari maksimum (arguments of the maxima, disingkat sebagai arg max atau argmax), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan maksimum global yang merujuk pada nilai keluaran terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai input (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.

Sebagai contoh, kedua fungsi di atas memiliki $\operatorname {argmax}$ berupa {0} karena keduanya mencapai nilai maksimum global 1 saat x=0. Fungsi berwarna merah memiliki arg min berupa (aproksimasi) {−4.49, 4.49} karena fungsi tersebut memiliki dua minimum global sekitar −0.217, yang terjadi saat x=±4.49. Namun walaupun memiliki nilai minimum global yang sama, fungsi berwarna biru memiliki arg min berupa {−1.43, 1.43} (aproksimasi), karena global minimum terjadi saat x=±1.43.

Definisi

Untuk sebarang himpunan $X$, himpunan $Y$ dengan urutan total, dan sebuah fungsi $f:X\to Y$, nilai $\operatorname {argmax}$ pada suatu subset $S$ dari $X$ didefinisikan sebagai

$$\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}.$$

Pada kasus $S=X$ atau $S$ jelas dari konteks pembicaraan, umumnya $S$ tidak ditulis; sebagai contoh:

$${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$$

Dalam kata lain, $\operatorname {argmax}$ merupakan himpunan titik $x$ yang menyebabkan $f(x)$ menghasilkan nilai maksimum (jika nilainya ada). $\operatorname {Argmax}$ dapat berupa himpunan kosong, singleton, atau himpunan berisi banyak elemen.

Pada bidang analisis konveks dan analisis variasi, definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ adalah bilangan real yang diperluas (extended real numbers). Dalam kasus khusus ini, jika nilai $f$ secara identik sama dengan $\infty$ pada $S$, maka $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ (dengan kata lain, $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$). Sedangkan pada kasus lainnya $\operatorname {argmax} _{S}f$ didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai:

$$\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}$$

Perlu ditekankan bahwa persamaan yang melibatkan $\inf {}_{S}f$ hanya berlaku ketika $f$ tidak identik dengan $\infty$ pada subset $S$.

Arg min

Istilah $\operatorname {argmin}$ (atau $\operatorname {arg\,min}$) yang merujuk pada argumen dari minimum, didefinisikan serupa seperti $\operatorname {argmax}$. Sebagai contoh,

${\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}$

adalah titik-(titik) $x$ yang menyebabkan $f(x)$ menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari $\operatorname {arg\,max}$. Pada kasus khusus $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai $f$ identik dengan $-\infty$ pada $S$ maka $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ (dengan kata lain, $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai $f$ tidak sama dengan $-\infty$) , $\operatorname {argmin} _{S}f$ punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:

$\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}.$

Contoh

Sebagai contoh, jika $f(x)$ didefinisikan sebagai $1-|x|,$ maka $f$ akan mencapai nilai maksimum $1$ hanya pada titik $x=0.$ Dengan demikian,

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.$

Operator $\operatorname {argmax}$ berbeda dengan operator $\max$. Operator $\max$ ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan nilai maksimum dari fungsi tersebut, bukan himpunan titik yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,

$\max _{x}f(x)$ adalah elemen dari himpunan $\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}.$

Sifat

Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:

1. Jika $\theta$ adalah sebuah konstanta, maka $\operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmax} f(x)+\theta$
2. Jika $\theta >0$, maka $\operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmax} \theta f(x)$
3. Jika $\theta <0$, maka $\operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmin} \theta f(x)$
4. Jika $\operatorname {argmax} f(x)>0$, maka $\operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmin} {\frac {1}{f(x)}}$
5. Jika fungsi $g$ monotonik secara tegas, yakni $\alpha <\beta$ menyebabkan $g(\alpha )<g(\beta )$, terdapat hubungan $\operatorname {argmax} g(f(x))=\operatorname {argmax} f(x)$

Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan probabilitas. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan fungsi monotonik tegas $\log(x)$. Dengan kata lain

$$\operatorname {argmax} \prod _{i=1}^{n}p_{i}(x)=\operatorname {argmax} \sum _{i=1}^{n}\log p_{i}(x)$$

Pranala eksternal

• arg min and arg max di PlanetMath.