Identitas Euler

Identitas Euler (bahasa Inggris: Euler's identity), juga dikenal sebagai persamaan Euler (bahasa Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:

$e^{i\pi }+1=0,\,\!$

di mana $e\,\!$ adalah bilangan Euler, $i\,\!$ adalah unit imajiner dan $\pi \,\!$ adalah pi (atau konstanta Archimedes).

Analisis

Rumus Euler untuk suatu sudut umum

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:

• $0\,\!$ adalah identitas penambahan,
• $1\,\!$ adalah identitas perkalian,
• $e\,\!$ adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya ≈ 2.718281828459045,
• $i\,\!$ adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah $-i\,\!$), dan
• $\pi \,\!$ adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya ≈ 3.141592653589793.

Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.

Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.

Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik $(1,0)$ pada bidang kompleks sebesar 180° ($\pi$ radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar $1$ searah sumbu $x$. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal $(0,0)$.

Bukti

Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

dengan mensubtitusikan $x$ dengan $\pi$ didapat:

${\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+i\cdot 0\\&=-1\end{aligned}}$

sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$. Q.E.D.

Lihat pula

• Bilangan kompleks