Distribusi Poisson

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson (dilafalkan [pwasɔ̃]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Poisson
Plot Fungsi Massa Probabilitas Poisson
Sumbu aksis adalah indeks k. Fungsi ini hanya didefinisikan untuk bilangan bulat k. Garis penghubung hanya ilustrasi untuk memudahkan.
Fungsi distribusi kumulatif
Plot Fungsi Distribusi Kumulatif Poisson
Sumbu aksis adalah indeks k. Fungsi Distribusi Kumulatif diskontinyu pada bilangan bulat k dan lainnya datar, karena variabel yang digunakan adalah bilangan bulat.
Notasi
Parameterλ > 0 (bilangan asli)
Dukungank ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Unknown type
CDF untuk or (dimana adalah fungsi gamma inkomplit dan adalah fungsi pembulatan ke bawah)
Mean
Median
Modus
Unknown type
Skewness
Ex. kurtosis
Entropi

(for large )


                   
MGF
CF

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyaRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Definisi

sunting

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah  , maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

 

dimana

  • e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)
  • k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa  — peluang yang diberikan oleh fungsi ini
  • k! adalah faktorial dari k
  • λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi Poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi Poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

Referensi

sunting
  • Donald E. Knuth (1969). Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming, Volume 2. Addison Wesley. 
  • Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1974). "Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions". Computing. 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108. 
  • Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1982). "Computer Generation of Poisson Deviates". ACM Transactions on Mathematical Software. 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997. 
  • Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers (1988). "The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6". SIAM Review. 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059. 

Pranala luar

sunting