Teorema Wilson

bilangan prima jika dan hanya jika perkalian semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari n mempunyai selisih 1 dengan suatu kelipatan dari n

Dalam teori bilangan, Teorema Wilson menyatakan bahwa bilangan bulat n > 1 adalah bilangan prima jika dan hanya jika perkalian semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari n mempunyai selisih 1 dengan suatu kelipatan dari n. Dengan menggunakan faktorial dan menggunakan notasi aritmetika modular, teorema ini dapat dituliskan sebagai

benar jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Dengan bahasa lain, n adalah bilangan prima jika dan hanya jika (n − 1)! + 1 habis dibagi oleh n.[1]

SejarahSunting

Teorema ini dinyatakan oleh Ibnu Haitham (sekitar 1000 M),[2] dan pada abad ke-19 oleh John Wilson.[3] Edward Waring mengumumkan teorema tersebut pada tahun 1770, walau dia maupun muridnya, Wilson, dapat membuktikannya. Langrage memberikan bukti pertama pada tahun 1771.[4] Terdapat bukti bahwa Leibniz juga menyadari bukti teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah mempublikasikannya.[5][6]

ContohSunting

Untuk bilangan n dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan (n − 1)! dan sisa pembagiannya dengan n. Warna latar biru digunakan untuk n termasuk bilangan prima, dan emas untuk bilangan komposit.

Tabel faktorial dan sisa pembagiannya dengan  
    (barisan A000142 pada OEIS)   (barisan A061006 pada OEIS)
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0

BuktiSunting

Semua pembuktian berikut menggunakan fakta bahwa kelas residu modulo bilangan prima adalah suatu lapangan -- lihat artikel lapangan prima untuk detailnya. Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa setiap lapangan polinomialberderajat n memiliki maksimal n akar, digunakan dalam semua pembuktian.

Modulus kompositSunting

Jika   adalah bilangan komposit, maka ia dapat dibagi dengan suatu bilangan prima   yang terletak diantara  . Karena   membagi  , misalkan   untuk suatu bilangan bulat  . Dengan menggunakan kontradiksi, anggaplah   untuk   komposit. Karena   adalah faktor dari  , maka berlaku  . Namun   juga faktor dari  , sehingga juga berlaku  . Terjadi kontradiksi, dan dapat disimpulkan   hanya terjadi jika   bilangan prima.

AplikasiSunting

Uji keprimaanSunting

Walaupun dapat digunakan sebagai salah satu uji keprimaan, pada praktiknya teorema Wilson tidak pernah dipakai. Hal disebabkan karena menghitung nilai (n − 1)! modulo n untuk bilangan n yang besar secara komputasional berat, dan karena ada banyak uji keprimaan yang lebih cepat.

Residu kuadratik

Dengan menggunakan teorema Wilson, kita dapat mengubah ruas kiri setiap bilangan prima ganjil   di

 

untuk mendapatkan persamaan Bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai

 

atau

 

Bentuk ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema terkenal: untuk setiap bilangan prima   yang memenuhi  , bilangan   adalah residu kuadratik modulo  . Untuk membuktikannya, anggap   untuk suatu nilai  . Dengan mengambil   dan menggunakan bentuk diatas, kita dapatkan   kongruen dengan  .

Persamaan untuk bilangan primaSunting

Teorema Wilson telah digunakan untuk mengonstruksi persamaan bilangan prima, namun metode tersebut terlalu lambat untuk kegunaan praktis.

Fungsi gamma p-adicSunting

Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi gamma p-adic.

Generalisasi GaussSunting

Gauss membuktikan bahwa[7]

 

dengan   menyatakan bilangan prima ganjil, dan   menyatakan bilangan bulat positif. Nilai   yang menyebabkan hasil perkalian   adalah bilangan yang memiliki akar primitif modulo m.

Hal ini memperumum faktr bahwa untuk setiap grup abelian finite, antara hasil perkalian semua elemennya adalah elemen identitas, atau terdapat tepat satu elemen   berorde dua (namun tidak keduanya). Pada kasus yang kedua, hasil perkalian semua elemen adalah elemen  .

ReferensiSunting

  1. ^ Darling, David. The Universal Book of Mathematics. hlm. 350. 
  2. ^ "Ibn al-Haytham - Biography". Maths History (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-02-10. 
  3. ^ Waring, Edward (1770). Meditationes Algebraicae (dalam bahasa Latin). Cambridge, England. hlm. 218. 
  4. ^ Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres: avec l'histoire pour la même année (dalam bahasa Prancis). Chrétien Fréderic Voss. 1773. 
  5. ^ Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche ... (dalam bahasa Italia). C. Clausen. 1899. 
  6. ^ Giuseppe Peano (1897). Formulaire de mathématiques: t. I-V (dalam bahasa French). Harvard University. Bocca frères, Ch. Clausen. 
  7. ^ Gauss, DA, art. 78