Squaring the square


Squaring the square (harfiah: mempersegikan persegi) adalah masalah pengubinan untuk menyusun persegi integral dari persegi-persegi integral lain yang lebih kecil (persegi integral adalah persegi yang panjang sisi-sisinya bilangan bulat).[2][3][4] Nama masalah ini serupa dengan masalah matematika lain, yaitu squaring the circle (mempersegikan lingkaran).[5]

Persegi sempurna yang pertama kali ditemukan memiliki panjang sisi 4205 dan orde 55. Angka-angka pada gambar adalah panjang sisi persegi.[1]

Masalah squaring the square mudah diselesaikan selama tidak ada syarat tambahan. Kasus dengan syarat tambahan yang telah paling banyak dipelajari adalah persegi sempurna, yaitu persegi yang persegi-persegi penyusunnya harus berbeda ukuran. Masalah lain yang berkaitan dengan ini adalah masalah squaring the plane (mempersegikan bidang), yang bisa dilakukan bahkan dengan syarat semua bilangan asli harus muncul tepat satu kali sebagai ukuran ubin persegi. Orde persegi adalah jumlah persegi kecil yang digunakan untuk menyusun persegi besar.[4]

Persegi sempurnaSunting

 
Diagram Smith untuk sebuah persegi panjang


Persegi yang "sempurna" adalah persegi yang tersusun atas persegi-persegi kecil yang ukurannya berbeda semua.[4]

Masalah ini tercatat pertama kali dipelajari oleh R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone dan W. T. Tutte di Universitas Cambridge antara tahun 1936 dan 1938. Mereka memetakan gambar persegi tersebut sebagai diagram rangkaian listrik — mereka menyebutnya "diagram Smith" — dengan menganggap setiap persegi sebagai resistor dengan hambatan 1 ohm yang terhubung dengan persegi di atas dan bawahnya, lalu menerapkan hukum Kirchhoff dan teknik dekomposisi rangkaian terhadap sirkuit itu.[3] Persegi sempurna yang pertama kali mereka temukan memiliki orde 69.[2]

Persegi sempurna yang pertama kali dipublikasikan merupakan persegi majemuk, memiliki panjang sisi 4205 dan orde 55, dan ditemukan oleh Roland Sprague pada 1939.[6][1]

Martin Gardner menerbitkan artikel yang ditulis W. T. Tutte yang membahas sejarah awal masalah squaring the square secara mendalam pada kolom permainan matematikanya pada November 1958.[4]

Persegi sederhanaSunting

Persegi "sederhana" adalah persegi yang persegi-persegi penyusunnya tidak membentuk persegi atau persegi panjang lain di dalamnya—jika ada persegi atau persegi panjang lain, itu disebut persegi "majemuk".[2]

Pada 1978, A. J. W. Duijvestijn menemukan persegi sempurna yang sederhana dengan panjang sisi 112 dan orde paling rendah menggunakan pencarian komputer. Dia menggunakan 21 persegi kecil; ini telah dibuktikan sebagai jumlah persegi paling sedikit.[2] Persegi ini menjadi logo Trinity Mathematical Society.

Duijvestijn juga menemukan dua persegi sempurna sederhana lain dengan panjang sisi 110, tapi terdiri atas 22 persegi kecil. T.H. Willcocks menemukan satu lagi. Pada 1999, I. Gambini membuktikan bahwa tiga persegi ini adalah persegi sempurna sederhana yang panjang sisinya paling kecil.[4]

Persegi sempurna majemuk dengan jumlah persegi kecil paling sedikit ditemukan oleh T.H. Willcocks pada 1946 dan terdiri atas 24 persegi kecil. Akan tetapi, itu baru dibuktikan secara matematis oleh Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico, dan P. Leeuw pada 1982 sebagai contoh dengan orde paling rendah.[7]

Masalah Mrs. Perkins's quiltSunting

Masalah Mrs. Perkins's quilt (selimut Ny. Perkins) adalah masalah memotong persegi ukuran n × n menjadi persegi-persegi lebih kecil dengan jumlah persegi kecil paling sedikit (mencari orde persegi paling rendah). Ukuran persegi-persegi kecil boleh ada yang sama (tidak harus persegi sempurna).[8]

Kasus yang paling banyak dipelajari memiliki syarat tambahan bahwa pola pemotongan persegi dengan panjang sisi n harus berbeda dengan pola pemotongan persegi dengan panjang sisi < n.[9]

 
susunan persegi masalah "Selimut Ny. Perkins" (Mrs. Perkins's quilt) dengan panjang sisi persegi besar 1-6.


Bilangan imutSunting

 
persegi yang dipotong menjadi 10 persegi dengan dua ukuran, menunjukkan bahwa 10 termasuk bilangan imut


Bilangan imut (cute number) adalah bilangan bulat positif n sedemikian rupa agar suatu persegi bisa dipotong menjadi persegi-persegi lebih kecil sejumlah n dengan syarat hanya ada maksimal dua ukuran persegi yang berbeda.[10] Telah dibuktikan bahwa bilangam imut mencakup semua bilangan bulat positif kecuali 2, 3, dan 5.[11]

Squaring the planeSunting

 
Pengubinan bidang dengan persegi-persegi integral berbeda menggunakan barisan Fibonacci. # Pengubinan dengan persegi yang panjang sisinya bilangan Fibonacci hampir sempurna karena ada dua persegi ukuran 1. # Duijvestijn menemukan persegi sempurna ukuran 110 yang tersusun atas 22 persegi integral berbeda. # Memperbesar pengubian Fibonacci 110 kali lipat dan menggantikan persegi ukuran 110 dengan persegi sempurna Duijvestijn di nomor 2.


Pada 1975, Solomon Golomb mengajukan pertanyaan apakah seluruh bidang dapat diisi ubin persegi, dengan setiap persegi yang panjang sisinya bilangan bulat, yang dia sebut konjektur pengubinan heterogen. Masalah ini kemudian dipublikasikan oleh Martin Gardner pada kolom Scientific American dan muncul di beberapa buku, namun solusinya belum ditemukan selama 30 tahun.[12]

Pada Tilings and Patterns yang terbit pada 1987, Branko Grünbaum dan G. C. Shephard menyatakan bahwa pada semua pengubinan bidang dengan persegi integral sempurna masa itu, ukuran perseginya membesar secara eksponensial. Contohnya, suatu bidang bisa diisi ubin persegi integral yang berbeda--tapi tidak semua bilangan bulat--dengan persegi sempurna dan memperbesarnya sampai persegi penyusun paling kecil yang baru sama besarnya dengan persegi keseluruhan awal, lalu mengganti persegi tersebut dengan seluruh persegi sempurna awal.[13]

Pada 2008, James Henle dan Frederick Henle membuktikan bahwa pengubinan heterogen bisa dilakukan.[12] Bukti mereka berupa cara konstruksi dengan mengembangkan daerah berbentuk L yand dibentuk dari dua persegi berukuran berbeda yang bersebelahan pada pengubinan sempurna daerah persegi panjang, kemudian menyambungkan persegi terkecil yang belum terpakai untuk membuat daerah berbentuk L yang lebih besar. Persegi yang ditambahkan pada pengembangan memiliki ukuran yang belum ada pada konstruksinya dan prosedurnya dibuat agar daerah persegi panjangnya meluas ke empat arah sehingga mengisi seluruh bidang.[14]

Cubing the cubeSunting

Cubing the cube (harfiah: mengubuskan kubus) adalah masalah serupa pada tiga dimensi: memotong suatu kubus menjadi kubus-kubus lebih kecil yang berbeda ukuran semua yang jumlahnya berhingga.[15]

Berbeda dengan persegi, solusi masalah kubus tidak ada; tidak ada kubus yang tersusun atas kubus-kubus sempurna. Secara umum, tidak ada cara memotong balok C menjadi sejumlah kubus-kubus berbeda yang berhingga.[16][15]

Untuk membuktikan ini, mulai dengan pernyataan ini: untuk setiap pemotongan sempurna persegi panjang menjadi persegi-persegi, persegi paling kecil tidak akan berada di sudut pesegi panjang. Hal ini disebabkan setiap persegi pada sudut pasti bersebelahan dengan persegi lain yang lebih kecil yang bukan di sudut.[16]

Misalkan ada pemotongan sempurna balok C menjadi kubus-kubus berhingga. Sebut salah satu permukaan balok C sebagai dasar balok R. Dasar balok R terpotong sempurna menjadi persegi-persegi oleh kubus-kubus yang tersusun di atasnya. Persegi paling kecil s1 pada R dikelilingi persegi-persegi yang lebih besar, dengan demikian kubus-kubus yang lebih tinggi. Karena itu, muka atas kubus pada s1 harus terpotong sempurna menjadi persegi-persegi oleh kubus-kubus di atasnya. Sebut persegi paling kecil pemotongan ini s2. Dengan klaim yang sama, s2 dikelilingi persegi-persegi yang lebih besar dan kubus-kubus yang lebih tinggi.[16]

Urutan persegi-persegi s1, s2, ... yang semakin kecil ini tak berhingga dan kubus-kubusnya juga tak berhingga. Ini bertentangan dengan pemisalan awal.[16]

Jika kubus 4 dimensi (bahasa Inggris: tesseract) bisa dipotong secara sempurna dengan cara serupa, "permukaannya" akan tersusun dari kubus-kubus sempurna; sementara pemotongan sempurna kubus itu mustahil. Dengan demikian, tidak ada solusi masalah ini untuk semua kubus dengan dimensi yang lebih tinggi.[15]

 
Ilustrasi kubus sempurna yang mustahil:A. Persegi & kubus terkecil pasti tidak ada di sudut. B. Kubus terkecil dikelilingi kubus-kubus yang lebih besar & lebih tinggi. C. Kubus-kubus di atas kubus terkecil lapisan sebelumnya harus lebih kecil lagi.


Lihat jugaSunting

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Bouwkamp, C. J.; Duijvestijn, A. J. W. Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25, Eindhoven Univ. Technology, Dept. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
  • Bouwkamp, C. J.; Duijvestijn, A. J. W. (Dec 1994). "Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26" (PDF). EUT Report 94-WSK-02., Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science.
  • Gardner, Martin. "Squaring the square," dalam The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
  • Henle, Frederick,; Henle, James M. (2008). "Squaring the plane" (PDF). American Mathematical Monthly. 115: 3-2. JSTOR 27642387. Diarsipkan dari versi asli (PDF) pada 2006-06-20.
  • Wynn, Ed. (2013). "Exhaustive generation of Mrs Perkins's quilt square dissection for low orders". arXiv:1308.5420.

Pranala luarSunting

  1. ^ a b Gruber, P. M.; Wills, J. M. (1993). Handbook of Convex Geometry Volume A. Amsterdam: Elsevier Science Publisher. hlm. 462. ISBN 0444 895965. 
  2. ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Perfect Square Dissection". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-06-24. 
  3. ^ a b Grime, James (2017-06-05). "Squared Squares - Numberphile". Numberphile. Diakses tanggal 2020-06-24. 
  4. ^ a b c d e "Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples". squaring.net. Diakses tanggal 2020-06-24. 
  5. ^ "History and Theory". www.squaring.net. Diakses tanggal 2020-06-24. 
  6. ^ "Feature Column from the AMS". American Mathematical Society (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-06-24. 
  7. ^ A. J. W. Duijvestijn, P. J. Federico, dan P. Leeuw (1982). "Compound Perfect Squares". American Mathematical Monthly. 89: 15–32. 
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Mrs. Perkins's Quilt". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-06-24. 
  9. ^ "Mrs Perkin's Quilt". alaricstephen.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-06-24. 
  10. ^ "Cute Numbers". mathforum.org. Diakses tanggal 2020-06-24. 
  11. ^ Henry, J. B. (J. Bruce) (2009). Challenge! : 1999-2006. Taylor, P. J., Australian Mathematics Trust. Canberra, A.C.T.: AMT Publishing. ISBN 978-1-876420-23-9. OCLC 781561624. 
  12. ^ a b Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2008-01). "Squaring the Plane". The American Mathematical Monthly. 115 (1): 3–12. doi:10.1080/00029890.2008.11920491. ISSN 0002-9890. 
  13. ^ Branko Grünbaum & G. C. Shephard. W. H. (1987). Tilings and Patterns. New York: Freeman and Company. 
  14. ^ Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2014-11-19). Squaring and Not Squaring One or More Planes. www.math.smith.edu. 
  15. ^ a b c Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; Tutte, W. T. (1940). "The dissection of rectangles into squares". Duke Mathematical Journal (dalam bahasa Inggris). 7 (1): 312–340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9. ISSN 0012-7094. 
  16. ^ a b c d Gessel, Ira. Rota, Gian-Carlo (2009). Classic papers in combinatorics. Birkhäuser. hlm. 115. ISBN 0-8176-3364-2. OCLC 550576260.