Ruang terhubung

Dalam topologi dan cabang-cabang matematika yang terkait, ruang terhubung (bahasa Inggris: connected space) adalah ruang topologi yang tidak dapat dinyatakan sebagai gabungan dari dua subhimpunan tak kosong yang terlepas atau lebih. Keterhubungan adalah salah satu sifat topologi utama yang digunakan untuk membedakan ruang topologi.

Subruang terhubung dan tak terhubung dari
Pada gambar dari atas hingga bawah: ruang warna merah , ruang warna merah muda , ruang warna kuning dan ruang warna jingga disebut ruang terhubung, sedangkan ruang warna hijau (yang terdiri dari subhimpunan , , dan ) disebut ruang tak terhubung. Selain itu, ruang dan juga disebut ruang terhubung sederhana (yaitu mempunyai genus 0), sedangkan dan bukan ruang terhubung sederhana sebab mempunyai genus 1 dan mempunyai genus 4.

Subhimpunan dari ruang topologi adalah himpunan terhubung jika ia adalah ruang yang terhubung ketika dipandang sebagai subruang dari .

Ada beberapa syarat yang terkait tetapi lebih kuat, seperti keterhubungan lintasan (path connectedness), ruang terhubung sederhana (simply connected), dan ruang terhubung- (-connected). Gagasan terkait lainnya adalah ruang terhubung lokal (locally connected), yang tidak menyiratkan dari sifat keterhubungan.

Definisi formalSunting

Sebuah ruang topologi   dikatakan tak terhubung jika   adalah gabungan dari dua himpunan terbuka takkosong saling lepas. Hal ini berlaku untuk sebaliknya,   dikatakan terhubung jika   bukan merupakan gabungan dari dua himpunan tersebut. Selain itu, sebuah subhimpunan dari ruang topologi disebut terhubung jika ia terhubung terhadap topologi subruangnya.

Berikut adalah syarat-syarat yang mirip dengan definisi dari ruang topologi  :

  1.   disebut terhubung, dalam artian bahwa   tidak dapat dibagi menjadi dua himpunan terbuka takkosong yang saling lepas.
  2. Subhimpunan dari   yang merupakan himpunan terbuka dan tertutup hanyalah   dan himpunan kosong.
  3. Subhimpunan dari   dengan batas kosong hanyalah   dan himpunan kosong.
  4.   tidak dapat ditulis sebagai gabungan dari dua himpunan terpisah takkosong.
  5. Semua fungsi yang kontinu dari   ke   bernilai konstan, dengan   melambangkan ruang dua titik yang mempunyai topologi diskret.

Menurut sejarah, formulasi modern dari gagasan keterhubungan tersebut, yang mengatakan bahwa   tidak dapat dibagi menjadi dua himpunan terpisah, merupakan formulasi yang pertama kali ditemukan secara pisah oleh N.J. Lennes, Frigyes Riesz, dan Felix Hausdorff pada awal abad ke-20.[1]

ContohSunting

  • Interval tertutup   dalam topologi ruang bagian standar merupakan himpunan terhubung; walaupun hal tersebut dapat, sebagai contoh, ditulis sebagai gabungan dari   dan   serta himpunan kedua tidak terbuka dalam topologi yang dipilih dari  .
  • Gabungan dari   dan   adalah himpunan tak terhubung, dan kedua interval tersebut terbuka di ruang topologi standar  .
  •   merupakan himpunan tak terhubung.
  • Sebuah subhimpunan konveks dari   disebut terhubung, atau lebih tepatnya terhubung sederhana.
  • Sebuah bidang Euklides yang tidak memuat titik asal,  , disebut terhubung, tetapi sisanya tidak terhubung. Ruang Euklides dimensi tiga tanpa ada titik asal disebut terhubung, dan bahkan disebut terhubung sederhana. Sebaliknya, ruang Euklides dimensi satu tanpa ada titik asal disebut tidak terhubung.

ReferensiSunting

  1. ^ Wilder, R.L. (1978). "Evolution of the Topological Concept of "Connected"". American Mathematical Monthly. 85 (9): 720–726. doi:10.2307/2321676. JSTOR 2321676. 

Bacaan lebih lanjutSunting