Rasionalisasi (matematika)

Dalam aljabar elementer, merasionalkan akar adalah proses menghilangkan Akar bilangan pada bagian penyebut dari suatu pecahan.

Jika bagian penyebutnya merupakan monomial dalam bentuk akar, seperti $a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{k}$ (dengan $1\leq k\leq n$), maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan $\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n-k}$. $${\begin{aligned}{\dfrac {p}{a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{k}}}&={\dfrac {p}{a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{k}}}\cdot 1\\&={\dfrac {p}{a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{k}}}\cdot {\dfrac {\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n-k}}{\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n-k}}}\\&={\dfrac {p\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n-k}}{\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n}}}\\&={\dfrac {p\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n-k}}{x}}\end{aligned}}$$ Jika $k\geq n$, maka menurut pembagian bersisa, $k$ dapat ditulis sebagai $$k=nh+s$$ sehingga diperoleh $${\begin{aligned}{\dfrac {p}{a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{k}}}&={\dfrac {p}{a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{nh+s}}}\\&={\dfrac {p}{a\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{nh}\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{s}}}\\&={\dfrac {p}{ax^{h}\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{s}}}\end{aligned}}$$ yang kemudian dapat dilanjutkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan $\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n-s}$, serupa seperti sebelumnya.

Jika bagian penyebutnya linear dalam akar kuadrat, katakanlah $a+b{\sqrt {x}}$, maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan $a-b{\sqrt {x}}$, dan menjabarkan hasil perkalian pada bagian penyebut.

Teknik ini dapat diperluas menjadi sembarang penyebut aljabar, dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan semua konjugat aljabar dari bagian penyebut, dan menjabarkan penyebut yang baru dengan norma dari penyebut yang lama. Akan tetapi, terkecuali pada kasus khusus, hasil pecahannya mungkin memiliki bagian pembilang dan penyebut yang cukup besar, sehingga teknik ini umumnya digunakan hanya untuk kasus-kasus dasar seperti di atas.

Merasionalkan monomial akar kuadrat dan akar kubik

Cara dasar untuk merasionalkan akar adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor yang sama.

Contoh 1

Untuk merasionalkan ekspresi ${\dfrac {15}{\sqrt {5}}}$, maka dengan mengalikan ${\sqrt {5}}$ pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh $${\begin{aligned}{\dfrac {15}{\sqrt {5}}}&={\dfrac {15}{\sqrt {5}}}\cdot 1\\&={\dfrac {15}{\sqrt {5}}}\cdot {\dfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}\\&={\dfrac {15{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$$ Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kuadrat, sebab $\left({\sqrt {5}}\right)^{2}=5$, berdasarkan definisi akar kuadrat: $${\begin{aligned}{\dfrac {15}{\sqrt {5}}}&={\dfrac {15{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}\\&={\dfrac {15{\sqrt {5}}}{5}}\\&=3{\sqrt {5}}\end{aligned}}$$ yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.

Contoh 2

Untuk merasionalkan ekspresi ${\dfrac {23}{\sqrt[{3}]{a}}}$, maka dengan mengalikan $\left({\sqrt[{5}]{a}}\right)^{2}$ pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh $${\begin{aligned}{\dfrac {23}{\sqrt[{3}]{a}}}&={\dfrac {23}{\sqrt[{3}]{a}}}\cdot 1\\&={\dfrac {23}{\sqrt[{3}]{a}}}\cdot {\dfrac {\left({\sqrt[{3}]{a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}\right)^{2}}}\\&={\dfrac {23\left({\sqrt[{3}]{a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)^{3}}}\end{aligned}}$$ Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kubik, sebab akar kubiknya telah dipangkatkan tiga. Akibatnya, $${\begin{aligned}{\dfrac {23}{\sqrt[{3}]{a}}}&={\dfrac {23\left({\sqrt[{3}]{a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}\right)^{3}}}\\&={\dfrac {23\left({\sqrt[{3}]{a}}\right)^{2}}{a}}\end{aligned}}$$ yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.

Akar sekawan

Jika bagian penyebutnya adalah $${\sqrt {3}}\pm {\sqrt {2}}$$ maka proses merasionalkan akarnya dapat dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan: $${\sqrt {3}}\mp {\sqrt {2}}$$ dan diikuti oleh identitas selisih dua bilangan kuadrat (yang dalam kasus ini, menghasilkan bilangan $1$). Cara ini berlaku secara umum, yaitu ekspresi akar dalam bentuk $x\pm {\sqrt {y}}$ pada bagian penyebut dapat dihilangkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan $x\mp {\sqrt {y}}$.

Contoh 3

Untuk merasionalkan ekspresi ${\dfrac {1}{{\sqrt {10}}\pm {\sqrt {3}}}}$, maka dengan mengalikan ${\sqrt {10}}\mp {\sqrt {3}}$ pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh $${\begin{aligned}{\dfrac {1}{{\sqrt {10}}+{\sqrt {3}}}}&={\dfrac {1}{{\sqrt {10}}+{\sqrt {3}}}}\cdot 1\\&={\dfrac {1}{{\sqrt {10}}+{\sqrt {3}}}}\cdot {\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {10}}-{\sqrt {3}}}}\\&={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {3}}}{\left({\sqrt {10}}\right)^{2}-\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$$ Dari sini, akar kuadrat pada bagian penyebut berhasil dihilangkan, yang menghasilkan ekspresi $${\begin{aligned}{\dfrac {1}{{\sqrt {10}}+{\sqrt {3}}}}&={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {3}}}{\left({\sqrt {10}}\right)^{2}-\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}\\&={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {3}}}{10-3}}\\&={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {3}}}{7}}\end{aligned}}$$

Contoh 4

Proses ini juga berlaku untuk bilangan kompleks. Misalnya, pecahan $${\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}i}}$$ dapat dirasionalkan menjadi $${\begin{aligned}{\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}i}}&={\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}i}}\cdot {\dfrac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}i}{{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}i}}\\&={\dfrac {2\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}i\right)}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}-\left({\sqrt {6}}i\right)}}\\&={\dfrac {2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {6}}i}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}-\left({\sqrt {6}}i\right)^{2}}}\\&={\dfrac {2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {6}}i}{25-\left(-6\right)}}&{\text{sebab }}i^{2}=-1\\&={\dfrac {2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {6}}i}{31}}\end{aligned}}$$

Perumuman

Proses rasionalisasi dapat diperluas untuk semua bilangan aljabar dan fungsi aljabar (sebagai bentuk penerapan dari bentuk norma). Sebagai contoh, untuk merasionalkan akar pangkat tiga, diperlukan dua faktor linear yang melibatkan akar satuan ketiga, atau secara ekuivalen, sebuah faktor kuadrat.

Referensi

Materi ini terdapat pada buku-buku aljabar klasik. Misalnya:

• (Inggris) George Chrystal, Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (ISBN 1402159072); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189–199.