Fungsi poligamma

Dalam matematika, fungsi poligamma urutan adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai turunan ke pada logaritma dari fungsi gammaː

Grafik dari fungsi poligamma , , , dan dari argumen real
,

Dengan demikian

berlaku dimana adalah fungsi digamma dan adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada . Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan . Fungsi terkadang disebut fungsi trigamma.

Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Representasi integralSunting

Ketika   dan  , fungsi poligamma sama dengan

 

Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari  . Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk   dan real   dan tak negatif,   adalah fungsi sepenuhnya monoton.

Pengaturan   pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus   di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan  

Relasi pengulanganSunting

Itu memenuhi relasi perulangan

 

yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː

 

dan

 

untuk semua  . Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain   (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan  , kecuali dalam kasus   dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada   masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada   dimnita tambahannya. Kasus   harus diperlakukan berbeda karena   tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).

Relasi refleksiSunting

 

dimana   adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap   dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien  . Mereka mematuhi persamaan rekursi

 

Teorema perkalianSunting

Teorema perkalian memberikan

 

dan

 

untuk fungsi digamma.

Representasi deretSunting

Fungsi poligamma memiliki representasi deret

 

yang berlaku untuk   dan setiap kompleks   tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai

 .

Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.

Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,

 .

Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː

 .

Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː

 .

Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː

 

Dimana   adalah delta Kronecker.

Juga transenden Lerch

 

bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma

Deret TaylorSunting

Deret Taylor pada   adalah

 

dan

 

yang konvergen untuk  . Disini,   adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.

Ekspansi asimtotikSunting

Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː

 

dan

 

dimana kita memilih  , yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.

PertidaksamaanSunting

Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan

 ,

dan ini menyiratkan bahwa fungsi

 

adalah tak negatif untuk semua   dan  . Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa

 

benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas   menyiratkan bahwa

 

adalah tak negatif untuk semua   dan  , sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas

 

yang lengkap.

Oleh karena itu, untuk semua  , dan  ,

 .

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting