Bilangan komposit tinggi

Bilangan komposit tinggi adalah bilangan bulat positif dengan lebih banyak pembagi daripada bilangan bulat positif yang lebih kecil. Istilah ini diciptakan oleh Ramanujan (1915). Namun, Jean-Pierre Kahane telah menyarankan bahwa konsep tersebut mungkin telah diketahui oleh Plato, yang menetapkan 5040 sebagai jumlah ideal penduduk di kota sebagai 5040 telah lebih menjadi pembagi.[1]

Demonstrasi, dengan Batang Cuisenaire, dari empat pertama: 1, 2, 4, 6

Konsep terkait sebagian besar bilangan komposit mengacu pada bilangan bulat positif yang memiliki setidaknya sebanyak pembagi sebagai bilangan bulat positif yang lebih kecil.

Namanya bisa agak menyesatkan, karena dua bilangan komposit tinggi (1 dan 2) sebenarnya bukan bilangan komposit.

ContohSunting

38 bilangan komposit tinggi awal atau terkecil tercantum dalam tabel di bawah ini (barisan A002182 pada OEIS). Jumlah pembagi diberikan di kolom berlabel d ( n ). Tanda bintang menunjukkan bilangan komposit sangat unggul.

Order HCN
n
Faktorisasi
prima
Eksponen
prima
Bilangan
faktor
prima
d(n) Faktorisasi
primorial
1 1 0 1
2* 2   1 1 2  
3 4   2 2 3  
4* 6   1,1 2 4  
5* 12   2,1 3 6  
6 24   3,1 4 8  
7 36   2,2 4 9  
8 48   4,1 5 10  
9* 60   2,1,1 4 12  
10* 120   3,1,1 5 16  
11 180   2,2,1 5 18  
12 240   4,1,1 6 20  
13* 360   3,2,1 6 24  
14 720   4,2,1 7 30  
15 840   3,1,1,1 6 32  
16 1260   2,2,1,1 6 36  
17 1680   4,1,1,1 7 40  
18* 2520   3,2,1,1 7 48  
19* 5040   4,2,1,1 8 60  
20 7560   3,3,1,1 8 64  
21 10080   5,2,1,1 9 72  
22 15120   4,3,1,1 9 80  
23 20160   6,2,1,1 10 84  
24 25200   4,2,2,1 9 90  
25 27720   3,2,1,1,1 8 96  
26 45360   4,4,1,1 10 100  
27 50400   5,2,2,1 10 108  
28* 55440   4,2,1,1,1 9 120  
29 83160   3,3,1,1,1 9 128  
30 110880   5,2,1,1,1 10 144  
31 166320   4,3,1,1,1 10 160  
32 221760   6,2,1,1,1 11 168  
33 277200   4,2,2,1,1 10 180  
34 332640   5,3,1,1,1 11 192  
35 498960   4,4,1,1,1 11 200  
36 554400   5,2,2,1,1 11 216  
37 665280   6,3,1,1,1 12 224  
38* 720720   4,2,1,1,1,1 10 240  

The divisors of the first 15 highly composite numbers are shown below.

n d(n) Divisors of n
1 1 1
2 2 1, 2
4 3 1, 2, 4
6 4 1, 2, 3, 6
12 6 1, 2, 3, 4, 6, 12
24 8 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36 9 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48 10 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60 12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120 16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180 18 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240 20 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360 24 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720 30 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840 32 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840

Tabel di bawah ini menunjukkan 72 pembagi dari 10080 dengan menuliskannya sebagai hasil kali dari dua angka dalam 36 cara berbeda.

The highly composite number: 10080
10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7
1
×
10080
2
×
5040
3
×
3360
4
×
2520
5
×
2016
6
×
1680
7
×
1440
8
×
1260
9
×
1120
10
×
1008
12
×
840
14
×
720
15
×
672
16
×
630
18
×
560
20
×
504
21
×
480
24
×
420
28
×
360
30
×
336
32
×
315
35
×
288
36
×
280
40
×
252
42
×
240
45
×
224
48
×
210
56
×
180
60
×
168
63
×
160
70
×
144
72
×
140
80
×
126
84
×
120
90
×
112
96
×
105
Catatan:  Bilangan dalam bold adalah bilangan komposit tinggi .
Hanya nomor dua puluh yang sangat komposit 7560 (= 3 × 2520) is absent.
10080 is a so-called 7-smooth number
(barisan A002473 pada OEIS).

Bilangan komposit ke-15.000 dapat ditemukan di situs web Achim Flammenkamp. Ini adalah produk dari 230 bilangan prima:

 

dimana   adalah deretan bilangan prima yang berurutan, dan semua suku yang dihilangkan (a22 to a228) adalah faktor dengan eksponen sama dengan satu (yaitu bilangan  ). Lebih tepatnya, ini adalah produk dari tujuh primorial yang berbeda:

 

dimana   adalah primorial  . [2]

 
Plot jumlah pembagi bilangan bulat dari 1 hingga 1000. Bilangan komposit tinggi diberi label dengan huruf tebal dan bilangan komposit tinggi di atas diberi tanda bintang. Di Berkas SVG, arahkan kursor ke atas bilah untuk melihat statistiknya.

Faktorisasi primaSunting

Secara kasar, agar sebuah bilangan menjadi sangat komposit, ialah anda harus memiliki faktorisasi prima sekecil mungkin, tetapi tidak terlalu banyak yang sama. Dengan teorema dasar aritmetika, setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik:

 

dimana   adalah bilangan prima dan eksponen, sedangkan   adalah bilangan bulat positif.

Faktor apa pun dari n harus memiliki kelipatan yang sama atau lebih kecil di setiap bilangan prima:

 

Jadi jumlah pembagi n adalah:

 

Oleh karena itu, untuk bilangan komposit tinggi n ,

  • k yang diberi bilangan prima p i harus persis bilangan prima k pertama (2, 3, 5, ...); jika tidak, kita bisa mengganti salah satu bilangan prima yang diberikan dengan bilangan prima yang lebih kecil, dan dengan demikian mendapatkan bilangan yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 10 = 2 × 5 dapat diganti dengan 6 = 2 × 3; keduanya memiliki empat pembagi);
  • urutan eksponen harus tidak meningkat, yaitu  ; jika tidak, dengan menukar dua eksponen kita akan mendapatkan angka yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 18 = 21 × 32 boleh diganti dengan 12 = 22 × 31; keduanya memiliki enam pembagi).

Perhatikan, bahwa meskipun kondisi yang dijelaskan di atas diperlukan, kondisi tersebut tidak cukup untuk sebuah bilangan menjadi sangat komposit. Sebagai contoh, 96 = 25 × 3 memenuhi kondisi di atas dan memiliki 12 pembagi tetapi tidak terlalu komposit karena ada bilangan yang lebih kecil 60 yang memiliki jumlah pembagi yang sama.

Pertumbuhan dan kepadatan asimtotikSunting

Bila Q(x) menunjukkan jumlah bilangan komposit yang kurang dari atau sama dengan x , maka ada dua konstanta a dan b , keduanya lebih besar dari 1, sehingga

 

Bagian pertama dari ketidaksetaraan dibuktikan oleh Paul Erdős pada tahun 1944 dan bagian kedua oleh Jean-Louis Nicolas pada tahun 1988. Kami memiliki[3]

 

dan

 

Urutan terkaitSunting

Bilangan komposit yang lebih tinggi dari 6 juga merupakan jumlah berlimpah. Kita hanya perlu melihat tiga pembagi terbesar dari bilangan komposit tinggi tertentu untuk memastikan fakta ini. Tidak benar bahwa semua bilangan komposit tinggi juga Bilangan Harshad dalam basis 10. HCN pertama yang bukan bilangan Harshad adalah 245.044.800, yang memiliki jumlah digit 27, tetapi 27 tidak membagi.

10 dari 38 bilangan komposit tinggi pertama adalah bilangan komposit sangat unggul. Urutan bilangan komposit tinggi (barisan A002182 pada OEIS) adalah himpunan bagian dari urutan bilangan terkecil k dengan pembagi n persis (barisan A005179 pada OEIS).

Bilangan komposit tinggi yang jumlah pembaginya juga merupakan bilangan komposit tinggi adalah untuk n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (barisan A189394 pada OEIS). Sangat mungkin urutan ini selesai.

Bilangan bulat positif n adalah sebagian besar bilangan komposit jika d(n) ≥ d(m) untuk semua mn. Fungsi penghitungan QL(x) dari sebagian besar bilangan komposit memuaskan

 

untuk nilai positif c,d dengan  .[4][5]

Karena faktorisasi prima dari bilangan komposit tinggi menggunakan semua bilangan prima 'k' 'pertama, setiap bilangan komposit tinggi harus berupa bilangan praktis.[6] Banyak dari angka-angka ini digunakan dalam sistem pengukuran tradisional, dan cenderung digunakan dalam desain teknik, karena kemudahan penggunaannya dalam perhitungan yang melibatkan pecahan.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Kahane, Jean-Pierre (February 2015), "Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre", Notices of the American Mathematical Society, 62 (2): 136–140 . Kahane mengutip Plato Laws, 771c.
  2. ^ Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers .
  3. ^ Sándor et al. (2006) p.45
  4. ^ Sándor et al. (2006) p.46
  5. ^ Nicolas, Jean-Louis (1979). "Répartition des nombres largement composés". Acta Arith. (dalam bahasa French). 34 (4): 379–390. doi:10.4064/aa-34-4-379-390 . Zbl 0368.10032. 
  6. ^ Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers" (PDF), Current Science, 17: 179–180, MR 0027799 .

ReferensiSunting

Pranala luarSunting

Templat:Kelas pembagi Templat:Kelas bilangan asli