Teorema akar rasional

(Dialihkan dari Teorema rasional nol)
Nilai Nilai

Teorema akar rasional atau uji akar rasional[1] atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.[2][1]. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

,

dimana . Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi (adalah bilangan rasional) harus membagi habis dan .

Misalnya, diberikan persamaan . Pada kasus ini, memiliki faktor dan memiliki faktor . Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah . Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh .

Misal   adalah akar rasional pada persamaan polinomial  . Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa   dan  , dimana  . Substitusi nilai   sehingga kita memperoleh

 .

Kita akan membuktikan bahwa   membagi habis  . Mula-mula, kita pindah-ruaskan  .

 .

Bagi kedua ruas dengan   dan faktor-keluarkan   untuk ruas kiri. Kita memperoleh

 .

Disini, kita memperoleh bahwa   membagi habis  . Sekarang, kita membuktikan   membagi habis  . Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan   dan kalikan kedua ruas dengan  .

 .

Disini, kita memperoleh bahwa   membagi habis  .  [3]

Rujukan

sunting
  1. ^ a b "Teorema akar rasional | matematika". Teorema akar rasional | matematika. 2020-06-27. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-20. 
  2. ^ "Sutori". www.sutori.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-23. 
  3. ^ "Teorema Akar Rasional". ICHI.PRO. Diakses tanggal 2021-12-20.