Kaidah Simpson

Dalam analisis numerik, kaidah Simpson atau aturan Simpson adalah salah satu metode untuk mencari hampiran numerik dari integral tentu. Metode ini berasal dari matematikawan Thomas Simpson (1710 – 1761), yang berasal dari Leicestershire, Inggris. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran Johannes Kepler berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur. Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari rumus Newton-Cotes tertutup.

Kaidah Simpson dapat diturunkan dengan menghampiri integran $f(x)$ (biru) dengan interpolasi kuadratik $P(x)$ (merah).

Animasi yang menunjukkan bagaimana kaidah Simpson menghampiri fungsi dengan parabola, dan bagaimana proses penurunan galat dapat diraih dengan mengecilkan panjang langkah

Salah satu penerapan kaidah Simpson adalah dalam arsitektur perkapalan untuk menghitung kapasitas kapal atau sekoci.

Kaidah Simpson 1/3

Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah kaidah Simpson 1/3, yaitu :

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left(f(a)+4\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

Jika didefinisikan variabel $h={\dfrac {b-a}{2}}$ yang disebut panjang langkah, maka kaidah Simpson 1/3 dapat dinyatakan sebagai

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f\left(a+h\right)+f(a+2h)\right)$

Nilai hampiran di atas akan berubah menjadi eksak apabila fungsi $f$ merupakan polinomial yang berderajat 3 atau kurang.

Penurunan Rumus

Interpolasi Kuadratik

Kaidah Simpson didasarkan pada interpolasi kuadratik yang dikonstruksikan dari titik $\left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {a\,+\,b}{2}},\,f\left({\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}$. Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange, maka diperoleh

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx \int _{a}^{b}\left(f(a)\,{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}+f\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\,{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}+f(b)\,{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\right){\text{d}}x$

Dengan menggunakan teknik integral substitusi, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa

• $\int _{a}^{b}{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}$
• $\int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {2}{3}}\left(b-a\right)$
• $\int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}$

Apabila hasil di atas dituliskan dalam variabel $h={\dfrac {b-a}{2}}$, maka didapatkan

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f(a+h)+f(a+2h)\right)$

Keberadaan faktor ${\dfrac {1}{3}}$ pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 1/3

Koefisien tak tentu

Dengan menebak bahwa

${\dfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx C_{1}\,f(a)+C_{2}\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+C_{3}f(b)$

maka nilai koefisien $C_{1},\,C_{2},\,C_{3}$ di atas dapat diperoleh dengan mensyaratkan nilai hampiran di ruas kanan menjadi nilai eksak apabila fungsi $f(x)$ merupakan fungsi kuadrat. Oleh karena nilai $b-a\neq 0$, maka sistem persamaan yang dihasilkan memiliki penyelesaian yang tunggal, yaitu

${\begin{bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/6\\2/3\\1/6\end{bmatrix}}$

Pembuktian ini pada dasarnya adalah versi tak formal dari pembuktian interpolasi Lagrange, lantaran bentuk umum hampirannya ditebak di awal pembuktian.

Galat

Animasi yang menunjukkan bagaimana hampiran kaidah Simpson akan semakin akurat apabila jumlah partisinya diperbanyak.

Galat dari hampiran integral menggunakan kaidah Simpson adalah

$-{\frac {1}{90}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi )$

dengan $a<\xi <b$.

Perhatikan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebanding dengan $(b-a)^{5}$. Akan tetapi, penurunan rumus kaidah Simpson menunjukkan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebenarnya sebanding terhadap $(b-a)^{4}$. Orde tambahan ini diperoleh karena kaidah Simpson menggunakan titik-titik berjarak sama pada domain integrasi $[a,\,b]$.

Oleh karena galatnya sebanding dengan turunan keempat dari fungsi $f$ pada titik $x=\xi$, maka kaidah Simpson 1/3 akan memberikan hasil eksak apabila fungsi $f$ merupakan polinomial berderajat tiga atau kurang, sebab turunan keempat dari fungsi $f$ adalah nol pada setiap titik.

Kaidah Simpson 1/3 Komposit

Jika domain integrasi $[a,\,b]$ cukup "kecil" (dalam artian, fungsi yang akan diintegralkan relatif mulus pada interval $[a,\,b]$), maka kaidah Simpson dengan $n=2$ subinterval akan memberikan hampiran yang cukup dekat dengan nilai eksak integralnya. Untuk fungsi yang seperti itu, interpolasi kuadratik seperti yang digunakan dalam aturan Simpson akan memberikan hasil yang baik.

Akan tetapi, terkadang ditemukan kasus dimana fungsi yang akan diintegralkan tidaklah mulus pada interval yang diberikan. Biasanya, ini artinya fungsinya sangat berosilasi atau tidak memiliki turunan pada beberapa titik. Pada kasus-kasus tersebut, kaidah Simpson akan memberikan hasil yang buruk. Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah mempartisi interval $\left[a,\,b\right]$ menjadi $2n$ subinterval yang sama panjangnya, lalu terapkan kaidah Simpson pada setiap subinterval. Nilai hampiran integralnya diperoleh dengan menjumlahkan hasil hampiran kaidah Simpson pada setiap subinterval. Pendekatan ini disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 komposit, atau kaidah Simpson komposit saja.

Misalkan interval $[a,\,b]$ dipartisi menjadi $2n$ subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel $h$ menyatakan panjang dari partisi $[a,\,b]$, maka didapatkan $h={\dfrac {b\,-\,a}{2n}}$. Andaikan titik partisinya ialah $\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{2n}\right\}$, maka diperoleh persamaan $x_{i}-x_{i\,-\,1}=h$. Sehingga,

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx+\int _{x_{2}}^{x_{4}}f(x)\,dx+\,\ldots \,+\int _{x_{2n-2}}^{x_{2n}}f(x)\,dx\\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})\right)+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})\right)+\,\ldots \,+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(f(x_{2i-2})+4\,f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\right)\\&\ldots \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})\right)+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})\right)+\,\ldots \,+{\frac {h}{3}}\left(f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+4\,f(x_{3})+f(x_{4})+\,\ldots \,+f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,f(x_{1})+2\,f(x_{2})+4\,f(x_{3})+2\,f(x_{4})+\,\ldots \,+2\,f(x_{2n-2})+4\,f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right)\\&\approx {\frac {h}{3}}\left(f(x_{0})+4\,\sum _{i\,=\,1}^{n}f(x_{2i-1})+2\,\sum _{i\,=\,1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n})\right)\end{aligned}}$$

Jika dipilih $n=1$, maka kaidah Simpson komposit akan menjadi kaidah Simpson 1/3 biasa.

Dalam penerapan nya, seringkali lebih menguntungkan apabila digunakan panjang interval yang berbeda, dan fokus pada lokasi dimana fungsinya kurang "berperilaku baik". Metode ini akan mengarah ke Metode Simpson adaptif.

Contoh implementasi menggunakan Python

import math
import numpy as np

def f(x) :
  return math.cos(x)    #mencari integral fungsi y = cos(x)

def aturan_simpson(a, b, n):
    if n % 2 != 0 :
        print("nilai n haruslah genap")
    else :
        h = (b - a) / n
        x = np.linspace(a, b, n+1)
        y = []
        for i in range(0, n+1) :
            y.append(f(a + i*h))
        return h/3 * (y[0] + 4*np.sum(y[1:-1:2]) + 2*np.sum(y[2:-1:2]) + y[-1])

Galat

Nilai galat yang dihasilkan dari kaidah Simpson komposit ialah

$-{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi )$

dimana $a<\xi <b$ dan $h={\dfrac {b-a}{2n}}$ adalah "panjang langkah". Ukuran galatnya diperoleh dari

${\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\cdot \sup _{\xi \,\in \,[a,\,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|$

Kaidah Simpson 3/8

Kaidah Simpson 3/8, disebut juga Kaidah kedua Simpson, adalah metode lain untuk melakukan pengintegralan numerik yang diajukan oleh Thomas Simpson. Metode ini didasari oleh interpolasi kubik yang dikonstruksikan dari titik $\left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {2a+b}{3}},\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}$. Secara matematis, kaidah Simpson 3/8 dapat dinyatakan sebagai berikut:

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left(f(a)+3\,f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right)\\&={\frac {3}{8}}h\,\left(f(a)+3\,f\left(a+h\right)+3\,f\left(a+2h\right)+f(a+3h)\right)\end{aligned}}$$

dengan $h=(b-a)/3$ sebagai panjang langkah. Keberadaan faktor ${\dfrac {3}{8}}$ pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 3/8

Galat

Galat yang dihasilkan melalui kaidah Simpson 3/8 ialah

$$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi )$$

dimana $a<\xi <b$. Sehingga, kaidah Simpson 3/8 dua kali lebih akurat daripada kaidah Simpson 1/3, namun metode ini memerlukan perhitungan nilai fungsi pada titik yang lebih banyak.

Kaidah Simpson 3/8 Komposit

Apabila interval $[a,\,b]$ dipartisi menjadi $3n$ subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel $h$ menyatakan panjang dari partisi $[a,\,b]$, maka didapatkan $h={\dfrac {b\,-\,a}{3n}}$. Andaikan titik partisinya ialah $\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{3n}\right\}$, maka diperoleh persamaan $x_{i}-x_{i\,-\,1}=h$. Sehingga,

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=\int _{x_{0}}^{x_{3}}f(x)\,dx+\int _{x_{3}}^{x_{6}}f(x)\,dx+\,\ldots \,+\int _{x_{3n-3}}^{x_{3n}}f(x)\,dx\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})\right)+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})\right)+\,\ldots \,+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(f(x_{3i-3})+3\,f(x_{3i-2})+3\,f(x_{3i-1})+f(x_{3i})\right)\\&\ldots \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})\right)+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})\right)+\,\ldots \,+{\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+f(x_{6})+\,\ldots \,+f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,f(x_{1})+3\,f(x_{2})+2\,f(x_{3})+3\,f(x_{4})+3\,f(x_{5})+2\,f(x_{6})+\,\ldots \,+2\,f(x_{3n-3})+3\,f(x_{3n-2})+3\,f(x_{3n-1})+f(x_{3n})\right)\\&\approx {\frac {3}{8}}h\,\left(f(x_{0})+3\,\sum _{k\,=\,1,\ 3\,\nmid \,k}^{n}f(x_{k})+2\,\sum _{i\,=\,1}^{n-1}f(x_{3i})+f(x_{3n})\right)\end{aligned}}$$

Jika dipilih $n=1$, maka kaidah Simpson 3/8 komposit akan menjadi kaidah Simpson 3/8 biasa.

Lihat juga

• Rumus Newton–Cotes
• Kuadratur Gauss

Referensi

• (Inggris) Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis [Pengantar Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2. 
• (Inggris) Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis [Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-7th). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9. 
• (Inggris) Cartwright, Kenneth V. (September 2017). "Simpson's Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data" [Pengintegralan Kumulatif Kaidah Simpson dengan MS Excel dan Data dengan Karak tak Beraturan] (PDF). Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education (dalam bahasa Inggris). 12 (2): 1–9. Diakses tanggal December 18, 2022. 
• (Inggris) Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks" [Perbandingan kaidah pengintegralan pada kasus puncak kromatografi yang sangat sempit]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems (dalam bahasa Inggris). 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439. 
• (Inggris) Matthews, John H. (2004). "Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration" [Kaidah Simpson 3/8 untuk Pengintegralan Numerik]. Numerical Analysis - Numerical Methods Project (dalam bahasa Inggris). California State University, Fullerton. Diarsipkan dari versi asli tanggal December 4, 2008. Diakses tanggal November 11, 2008. 
• (Inggris) Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2022). "Numerical Methods with Applications" [Metode Numerik beserta Penerapan] (dalam bahasa Inggris). .
• (Inggris) Shklov, N. (December 1960). "Simpson's Rule for Unequally Spaced Ordinates" [Kaidah Simpson untuk Ordinat yang berjarak tak sama]. The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 67 (10): 1022–1023. doi:10.2307/2309244. JSTOR 2309244. 
• (Inggris) Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis [Pengantar Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes Formulas". MathWorld. Diakses tanggal December 14, 2022. 

Pranala luar

• (Inggris)Kaidah Simpson untuk Pengintegralan Numerik
• (Inggris)Penerapan kaidah Simpson - Earthwork Excavation
• (Inggris)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Simpson formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris)Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". MathWorld. 
• (Inggris)Kaidah Simpson 1/3 untuk pengintegralan pada Holistic Numerical Methods (Metode Numerik Holistik)
• (Inggris)Penjelasan rinci tentang implementasi komputer dijelaskan oleh Dorai Sitaram dalam Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C Diarsipkan 2018-03-17 di Wayback Machine.
• (Inggris)Program dalam bahasa C untuk mengimplementasikan kaidah Simpson Diarsipkan 2011-07-08 di Wayback Machine.