Interpolasi polinomial

Interpolasi pada himpunan titik dengan menggunakan polinomial derajat terkecil yang melewati semua titik pada himpunan tersebut


Dalam analisis numerik, interpolasi polinomial adalah sebuah metode interpolasi untuk suatu himpunan titik, dengan menggunakan polinomial derajat terkecil yang melewati semua titik pada himpunan tersebut.[1] Secara lebih formal, untuk himpunan n + 1 titik , dengan tidak ada dua yang sama, sebuah fungsi polinomial dikatakan menginterpolasi data jika untuk setiap .

Dua rumus eksplisit yang umum untuk jenis polinomial ini adalah polinomial Langrange dan polinomial Newton.

Penerapan

sunting

Polinomial dapat digunakan untuk menghampiri bentuk kurva-kurva yang rumit, contohnya kurva yang membentuk huruf-huruf dalam tipografi.[butuh rujukan]Beberapa penerapan lainnya adalah untuk menaksir nilai fungsi logaritma alami dan fungsi-fungsi trigonometri. Hal ini dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di beberapa titik, lalu membuat polinomial interpolasi dari titik-titik tersebut. Perhitungan menggunakan polinomial memungkinkan hasil didapatkan dalam waktu yang lebih singkat. Interpolasi polinomial berperan penting dalam algoritma perkalian dan pemangkatan sub-kuadratik, seperti perkalian Karatsuba dan perkalian Toom–Cook. Interpolasi polinomial juga menjadi dasar algoritma-algoritma integrasi numerik, solusi numerik dari sistem persamaan diferensial biasa, dan skema-skema pembagian rahasia.

Teorema interpolasi

sunting

Teorema ini menyatakan keberadaan sebuah polinomial dengan derajat maksimum   yang unik dan menginterpolasi himpunan titik  , jika tidak ada dua   yang sama.[2] Dalam sudut pandang lain, untuk sebuah pemilihan titik-titik interpolasi  , interpolasi polinomial mendefinisikan sebuah bijeksi linear antara bilangan real rangkap-n (n-tuple)   dan ruang vektor polinomial real   dengan derajat maksimum n; yakni  

Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan fungsi-fungsi basis Langrage yang setiap fungsinya,  , adalah sebuah polinomial berderajat  . Lebih lanjut,   berlaku untuk setiap  , dengan   adalah fungsi delta Kronecker. Hal ini dapat digunakan untuk menunjukkan kombinasi linear  adalah sebuah fungsi polinomial interpolasi berderajat  . Sifat unik (tunggal) dari fungsi ini dibuktikan secara kontradiksi: anggap ada polinomial interpolasi   lainnya yang berderajat maksimum  . Karena   untuk setiap  , polinomial   memiliki   akar yang berbeda. Akan tetapi,   memiliki derajat maksimum   sehingga berdasarkan teorema dasar aljabar[3] fungsi   hanya memiliki   akar yang berbeda. Karena anggapan salah,   (tidak ada polinomial interpolasi lainnya).

Teorema ini juga dapat dibuktikan dengan bantuan matriks Vandermonde. Sistem persamaan linear dapat dihasilkan lewat menjabarkan persamaan interpolasi   dengan  untuk setiap pasangan  . Dalam bentuk matriks, sistem persamaan dalam koefisien   tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian:

 

Fungsi polinomial interpolasi   berkorespondensi pada solusi   dari persamaan matriks   di atas. Matriks   di sisi kiri merupakan matriks Vandermonde, dengan nilai determinannya ditentukan dari persamaan   Nilai determinan ini tidak nol karena setiap titik   berbeda. Hal ini memastikan matriks dapat diinvers dan persamaan tersebut memiliki solusi unik  . Dengan kata lain   ada dan unik.

Sebagai akibat dari teorema ini, jika   adalah polinomial berderajat maksimum  , maka polinomial interpolasi dari   dengan menggunakan   titik berbeda, akan menghasilkan   itu sendiri.

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Tiemann, Jerome J. (May–June 1981). "Polynomial Interpolation". I/O News. 1 (5): 16. ISSN 0274-9998. Diakses tanggal 3 November 2017. 
  2. ^ Humpherys, Jeffrey; Jarvis, Tyler J. (2020). "9.2 - Interpolation". Foundations of Applied Mathematics Volume 2: Algorithms, Approximation, Optimization. Society for Industrial and Applied Mathematics. hlm. 418. ISBN 978-1-611976-05-2. 
  3. ^ Humpherys, Jeffrey; Jarvis, Tyler J.; Evans, Emily J. (2017). "15.3: The Fundamental Theorem of Arithmetic". Foundations of Applied Mathematics Volume 1: Mathematical Analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics. hlm. 591. ISBN 978-1-611974-89-8. 

Referensi

sunting
  • Bernstein, Sergei N. (1912). "Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes de degré donné" [On the order of the best approximation of continuous functions by polynomials of a given degree]. Mem. Acad. Roy. Belg. (dalam bahasa Prancis). 4: 1–104. 
  • Faber, Georg (1914). "Über die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen" [On the Interpolation of Continuous Functions]. Deutsche Math. Jahr. (dalam bahasa Jerman). 23: 192–210. 
  • Watson, G. Alistair (1980). Approximation Theory and Numerical Methods. John Wiley. ISBN 0-471-27706-1. 

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting