Identitas Sophie Germain

Dalam matematika, identitas Sophie Germain adalah faktorisasi polinomial yang dinamai dari Sophie Germain. Identitas ini mengatakan bahwa

$${\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}$$

Selain penerapannya di dalam aljabar elementer, identitas ini juga dapat digunakan dalam teori bilangan untuk memfaktorkan bilangan bulat dari bentuk khusus $x^{4}+4y^{4}$, dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam kompetisi matematika.

Sejarah

Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikut

$${\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}$$

Mengubah persamaan ini dengan mengalikan $y$ oleh ${\sqrt {2}}$ memberikan

$$x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},$$

sebuah ekspresi berupa selisih dari dua bilangan kuadrat, yang menghasilkan identitas Germain. Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh Leonard Eugene Dickson dalam karyanya History of the Theory of Numbers. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari Leonhard Euler kepada Christian Goldbach.

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku faktorisasi bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan. Sebuah bukti tanpa kata juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan teorema Pythagoras.

Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat

Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk

$$n^{4}+4^{n}$$

tidak dapat berupa bilangan prima untuk $n>1$. (Untuk $n=1$, hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika $n$ adalah bilangan genap, dan jika $n$ bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan $x=n$ dan $y=2^{(n-1)/2}$. Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari $n=0$) membentuk barisan bilangan bulat

1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (barisan A001589 pada OEIS).

Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan $x=1$ dan $y=2^{k}$ dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi

$${\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}$$

dengan $\Phi _{4}(x)=x^{2}+1$ adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum, $\Phi _{4}$ adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari $\Phi _{4}$ sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.

Perumuman

Identitas Germain telah diperumum ke persamaan fungsional

$$f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )}.$$

Menurut identitas Sophie Germain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan fungsional di atas.