Fungsi rasional Chebyshev

Dalam matematika, fungsi rasional Chebyshev adalah urutan fungsi yang rasional dan ortogonal. Mereka dinamakan Pafnuty Chebyshev. Fungsi rasional Chebysev dengan derajat n didefinisikan sebagai:

R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)

di mana T_n(x) adalah polinom Chebyshev bentuk pertama.

Sifat

Banyak sifat yang dapat diturunkan dari polinom Chebysev bentuk pertama.

Rekursi

R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 1

Persamaan diferensial

(x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 2

(x+1)^{2}x{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0

Ortogonalitas

Plot nilai absolut dari orde ketujuh (

n = 7

) fungsi rasional Chebyshev untuk

0.01 \leq x \leq 100

. Perhatikan bahwa terdapat

n

nol yang tersusun secara simetris disekitar

x = 1

dan jika

x 0

adalah nol, maka

1 x 0

adalah nol juga. Nilai maksimum diantara nol adalah satu. Sifat ini berlaku untuk semua orde.

Mendefinisikan:

\omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}

Ortogonalitas dari fungsi rasional Chebyshev dapat ditulis:

\int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}

di mana $c n = 2$ untuk $n = 0$ dan $c n = 1$ untuk $n \geq 1$ ; $δ nm$ adalah fungsi Kronecker delta.

Perluasan fungsi yang berubah-ubah

Untuk fungsi yang berubah-ubah $f (x) \in L 2 ω$ hubungan ortogonalitas dapat digunakan untuk memperluas $f (x)$ :

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)

dimana

F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x.

Nilai khusus

{\begin{aligned}R_{0}(x)&=1\\R_{1}(x)&={\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\\R_{n}(x)&=(x+1)^{-n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\binom {2n}{2m}}x^{n-m}\end{aligned}}

Perluasan fraksi sebagian

R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{\binom {n+m-1}{m}}{\binom {n}{m}}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}

Referensi

Guo, Ben-Yu; Shen, Jie; Wang, Zhong-Qing (2002). "Chebyshev rational spectral and pseudospectral methods on a semi-infinite interval" (PDF). Int. J. Numer. Meth. Engng. 53: 65–84. CiteSeerX 10.1.1.121.6069  . doi:10.1002/nme.392. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2006-09-04. Diakses tanggal 2006-07-25.