Benda putar

sebuah gambar benda diperoleh dengan memutar sebuah kurva bidang sepanjang garis lurus (sumbu edar) yang terletak pada bidang yang sama

Dalam matematika, teknik, dan manufaktur, sebuah benda putar adalah sebuah gambar benda diperoleh dengan memutar sebuah kurva bidang sepanjang garis lurus (sumbu edar) yang terletak pada bidang yang sama.

Memutar sebuah kurva. Pemukaan yang dibentuk adalah sebuah permukaan putar; ini menutup sebuah benda putar.
Benda putar (Matemateca Ime-Usp)

Mengasumsi bahwa kurvanya tidak melintasi sumbu tersebut, volume benda sama dengan panjang dari lingkaran digambarkan oleh sentroid gambar yang dikalikan oleh luas gambar (teorema sentroid kedua Pappus).

Sebuah cakram wakilan adalah sebuah unsur volume sebuah benda putar. Unsur tersebut diciptakan dengan memutar sebuah ruas garis (panjang ) di sekitar sumbu tertentu (terletak satuan), jadi bahwa sebuah volume silindris satuan adalah tertutup.

Mencari volumeSunting

Dua metode utama untuk mencari volume benda putar adalah metode integrasi cakram dan metode integrasi kulit. Untuk menerapkan metode-metode ini, ini adalah yang paling mudah untuk menggambar grafik dalam pertanyaan, mengenali luas yang akan diputar mengenai sumbu putar, menentukan volume dari salah satu sebuah irisan berbentuk cakram benda, dengan ketebalan  , atau sebuah kulit silindris dengan lebar  , dan kemudian cari jumlah limit volume-volume ini saat   mendekati 0, sebuah nilai yang dapat ditemukan dengan mengevaluasi sebuah integral yang sesuai. Sebuah pembenaran yang lebih teliti dapat diberikan dengan mencoba untuk mengevaluasi sebuah integral rangkap-tiga dalam koordinat silindris dengan dua urutan integrasi yang berbeda.

Metode cakramSunting

 
Integrasi cakram mengenai sumbu- 

Metode cakram digunakan ketika irisannya yang digambar tegak lurus dengan sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang sejajar dengan sumbu edar.

Volume dari benda dibentuk dengan memutar luasnya diantara kurva   dan   dan garisnya   dan   mengenai sumbu-  diberikan dengan

 

Jika   (misalnya memutar sebuah luas diantara kurva dan sumbu- ), ini dikurangi menjadi

 

Metode tersebut dapat divisualkan dengan menganggap sebuah persegi panjang horizontal tipis pada   diantara   di atas dan   di bawah, dan memutarnya mengenai sumbu- ; ini membenetuk sebuah cincin (atau cakram dalam kasus bahwa  , dengan jari-jari luar   dan jari-jari dalam  . Luas sebuah cincin adalah  , dimana   adalah jari-jari luar (pada kasus   ini), dan   adalah jari-jari dalam (pada kasus   ini). Karena itu volume setiap cakram infinitesimal adalah  . Limit jumlah Riemann dari volume cakram diantara   dan   menjadi integral (1).

Mengasumsi penerapan teorema Fubini dan mulitpeubah mengubah rumus variabel, metode cakram dapat diturunkan dengan cara yang lugas dengan (melambangkan benda sebagai  ).

 

Metode silinderSunting

 
Integrasi kulit

Metode silinder digunakan ketika irisannya yang digambar sejajar dengan sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang tegak lurus dengan sumbu edar.

Volume dari benda dibentuk dengan memutar luasnya diantara kurva   dan   dan garisnya   dan   mengenai sumbu-  diberikan dengan

 

Jika   (misalnya memutar sebuah luas diantara kurva dan sumbu- ), ini dikurangi menjadi

 

Metode ini dapat divisualkan dengan menganggap sebuah persegi panjang vertikal yang tipis pada   dengan tinggi  , dan memutarnya mengenai sumbu- ; ini membentuk sebuah kulit silindris. Luas permukaan sisi silinder adalah  , dimana   adalah jari-jari (pada kasus   ini), dan   adalah tinggi (pada kasus   ini). Menjumlahkan semua dari luas permukaan sepanjang interval memberikan jumlah keseluruhan volume..

Metode ini dapat diturunkan dengan integral rangkap-tiga yang sama, kali ini dengan sebuah urutan integrasi yang berbeda.

 
Penampilan benda putar
Bentuk-bentuk yang tak bergerak
Bentuk-bentuknya yang bergerak, menunjukkan benda putar dibentuk oleh masing-masing

Bentuk parametrikSunting

 
Matematika dan seni: studi sebuah vas sebagai sebuah benda putar oleh Paolo Uccello. Abad ke-15

Ketika sebuah kurva didefinisikan oleh bentuk parametriknya   dalam suatu interval  , volume dari benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-  dan sumbu-  diberikan dengan[1]

 

Dalam keadaan yang sama, luas dari permukaan benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-  dan sumbu-  diberikan dengan[2]

 

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Sharma, A. K. (2005). Application Of Integral Calculus. Discovery Publishing House. hlm. 168. ISBN 81-7141-967-4. 
  2. ^ Singh, Ravish R. (1993). Engineering Mathematics (edisi ke-6th). Tata McGraw-Hill. hlm. 6.90. ISBN 0-07-014615-2. 

ReferensiSunting