Pertidaksamaan

kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih
(Dialihkan dari Pertidaksamaan linear)

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.

Notasi pertidaksamaan

sunting
Notasi Arti Contoh
< lebih kecil
kurang dari
2 < 3
x + 1 < 3
> lebih besar
lebih dari
3 > 2
3x + 1 > 5
lebih kecil atau sama dengan
batas dibawah
maksimum
maksimal
sebanyaknya
paling banyak
tidak lebih dari
sekurangnya
2 ≤ 3
x + 1 ≤ 3
lebih besar atau sama dengan
batas diatas
minimum
minimal
sesedikitnya
paling sedikit
tidak kurang dari
selebihnya
3 ≥ 2
3x + 1 ≥ 5
tidak sama dengan 2 ≠ 3
x + 1 ≠ 3
a < x < b diantara a dan b 2 < x < 5
a ≤ x < b diantara a dan b bila ada a 2 ≤ x < 5
a < x ≤ b diantara a dan b bila ada b 2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b diantara a dan b bila ada a dan b 2 ≤ x ≤ 5
x < a v x > b kurang dari a atau lebih dari b x < 2 v x > 5
x ≤ a v x > b maksimal a atau lebih dari b x ≤ 2 v x < 5
x < a v x ≥ b kurang dari a atau minimal b x < 2 v x ≥ 5
x ≤ a v x ≥ b maksimal a atau minimal b x ≤ 2 v x ≥ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan

sunting

Pertidaksamaan Linear

sunting
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
  (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)
 
 

Pertidaksamaan Kuadrat

sunting
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 5
+++ ---- +++
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

(-4) (3)
+++ ---- +++
 

Pertidaksamaan Irasional

sunting

Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

  atau  

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi   atau   serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
Irisan 1
 

dibuat harga nol

 
 
 

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2
 

dibuat harga nol

 
 
 
Irisan 3
 
 

gabungkan umum dan syarat

Irisan -2 (0) (4) 5 (10)
pertama tidak ya ya ya tidak tidak
kedua ya ya tidak ya ya ya
ketiga ya ya ya ya ya tidak
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
Irisan 1
 

dibuat harga nol

 
 
 

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2
 

dibuat harga nol

 
 
 
Irisan 3
 
 

gabungkan umum dan syarat

Irisan (-50/3) (-6) (-2) (2) (9)
pertama ya ya tidak tidak tidak ya
kedua ya ya ya tidak ya ya
ketiga tidak ya ya ya ya ya
 

Pertidaksamaan Pecahan

sunting

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

 

di mana   adalah fungsi aljabar dengan   dan   merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
 
 
 

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 

dibuat irisan

2 11/4 3
+++ ---- +++ ----
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 

dibuat irisan

-17 (-7) 3 (5)
+++ ---- +++ ---- +++
 

Pertidaksamaan Mutlak

sunting

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

Model I
  atau  

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

 
Model II

Jika   atau   maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi   atau  .

Model III

Jika   maka menghasilkan   dan  .

begitupula  .

Model IV

Jika   terkurung maka f(x) menghasilkan   serta -f(x) menghasilkan  .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

 
untuk  
 
  definit +
untuk  
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-4 3
+++ ---- +++
 
 
  • Tentukan nilai x dari persamaan  !
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 - 4x - 12 |
 
batasan f(x)
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 6
+++ ---- +++
 
batasan -f(x)
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 6
+++ ---- +++
 
untuk | 7 - 6x |
 
batasan f(x)
 
 
batasan -f(x)
 
 

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan -2 7/6 6
pertama x^2 - 4x - 12 x^2 - 4x - 12
kedua -(x^2 - 4x - 12) -(x^2 - 4x - 12)
ketiga 7 - 6x 7 - 6x
keempat -(7 - 6x) -(7 - 6x)
untuk x <= -2
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

(-6) (-2) (4)
Ya Ya Tidak Tidak
+++ ---- ---- +++
 
untuk -2 < x <= 7/6
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

-2 (0) (7/6) (10)
Tidak Ya Ya Tidak Tidak
+++ +++ ---- ---- +++
 
untuk 7/6 < x < 6
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

(-2) (0) 7/6 6
Tidak Tidak Tidak Ya Tidak
+++ ---- +++ +++ +++
 

untuk x >= 6

 
 
  definit +
 

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:

 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 
 
 
 
akar dari  
 
  definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 
akar dari  
 
 

dibuat harga nol

 
 
  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
 
 
penyebut 2
 
 

dibuat irisan

-6 2* 3 10*
+++ ---- ---- +++ +++
nb: * = mempunyai 2 akar
 
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !
 
 
 
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

2 5
+++ ---- +++
 

karena ada syarat akar maka:

akar 1
 

dibuat harga nol

 
 
 

dibuat irisan

0 4
+++ ---- +++
 
akar 2
 
 

gabungkan umum dan syarat

irisan (0) (2) (10/3) (4) (5)
pertama ya ya tidak tidak tidak ya
kedua ya tidak tidak tidak ya ya
ketiga tidak tidak tidak ya ya ya
 

Pertidaksamaan aritmatika dan geometri

sunting

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a1, a2, …, an kita punya HGAQ, dimana

  (rata-rata harmonis),
  (rata-rata geometris),
  (rata-rata aritmatika),
  (rata-rata kuadrat).

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

sunting

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

 

where   adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rn dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

 

Pertidaksamaan pangkat

sunting

Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ab, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

Contoh

sunting
  • Dari bilangan riil x,
 
  • Bila x > 0 dan p > 0, maka
 
Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).
  • Bila x > 0, maka
 
  • Bila x > 0, maka
 
  • Bila x, y, z > 0, maka
 
  • Untuk bilangan riil a dan b ,
 
  • Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka
 
  • Bila x, y, z > 0, maka
 
  • Bila a, b > 0, maka[1]
 
  • Bila a, b > 0, maka[2]
 
  • Bila a, b, c > 0, maka
 
  • Bila a, b > 0, maka
 

Pertidaksamaan yang terkenal

sunting

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly. 97 (1): 65–67. doi:10.2307/2324012. JSTOR 2324012. 
  2. ^ Manyama, S. (2010). "Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions" (PDF). Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 7 (2): 1. 

Sumber

sunting

Pranala luar

sunting