Persamaan Abel
Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk
atau, setara,
dan mengontrol iterasi f.
Kesetaraan sunting
Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa α adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai
Pengambilan x = α−1(y), persamaan dapat ditulis sebagai
Untuk fungsi f ( x ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut α−1≡h, possibly satisfying additional requirements, such as α−1(0) = 1.
Perubahan variabel sα(x) = Ψ(x), untuk parameter nyata s, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .
The further change F(x) = exp(sα(x)) into Böttcher's equation, F(f(x)) = F(x)s.
Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,[1]
e.g., for ,
- . (Observe ω(x,0) = x.)
Fungsi Abel α(x) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).
Sejarah sunting
Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum [2] [3] was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.[4] [5][6]
Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak. [7]
Kasus khusus sunting
Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan f = exp.
Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,
dan seterusnya,
Solusi sunting
- solusi formal: unik (menjadi konstanta)[8] (Not sure, because if is solution, then , where , is also solution[9].)
- solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola[10]
- Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di jika dan hanya jika , dimana , n times.[11]
Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.
Lihat pula sunting
Referensi sunting
- ^ Aczél, János, (1966): Kuliah tentang Persamaan Fungsional dan Aplikasinya, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
- ^ Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1: 11–15.
- ^ A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51–106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 .
- ^ Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online
- ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 134 (2): 135–141.
- ^ Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 1 (1): 95–102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
- ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 127: 81–89.
- ^ Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia
- ^ R. Tambs Lyche,ÉTUDES SUR L'ÉQUATION FONCTIONNELLE D'ABEL DANS LE CAS DES FONCTIONS RÉELLES., University of Trondlyim, Norvege
- ^ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis
- ^ R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege