Pembicaraan:Gelanggang (matematika)

Definisi Gelanggang

Gw agak bingung dengan definisinya. Berkaca dari apa yang gw pelajari di kuliah, Ring (atau kalau di wikipedia sini, gelanggang) itu grup abelian terhadap operasi penjumlahan, dan semigrup (bukan monoid) terhadap operasi perkalian. Dengan kata lain, aksioma elemen satuan (elemen identitas terhadap perkalian) tidaklah diperlukan, setidaknya itu yang gw dapet dari kuliah. Kalau himpunannya ada elemen satuan, istilahnya itu "Ring dengan elemen satuan". Sedangkan di wikipedia, salah satu persyaratan menjadi struktur Ring adalah adanya elemen satuan. Kalau istilah untuk Ring yang tidak punya elemen satuan, di wikipedia inggris disebut "Rng" (Ring without Identity).

Oke, kalau masalah "istilah mana yang benar?", gw gak terlalu mempermasalahkan itu. Nah, yang gw garis bawahi disini definisi ring nya itu sendiri (perlu elemen satuan, atau gak usah?). Berarti ini wikipedia indonesia (atau setidaknya gw) ngikut aja^ dari wikipedia inggris gitu ya?

^ Mungkin ada argumen penguat atau penyangkal "kenapa ring harus punya elemen satuan" ? gw kurang tahu detail implikasinya bakal bagaimana... The Winter Lettuce (bicara) 15 Desember 2022 12.15 (UTC)

@The Winter Lettuce Hai, sekedar bertanya. Bisakah jelaskan yang Anda maksud: "definisi ring perlu elemen satuan atau tidak"? Dedhert.Jr (bicara) 16 Desember 2022 06.16 (UTC)

Berkaca dari apa yang gw pelajari semasa kuliah, aksioma elemen satuan (elemen identitas terhadap perkalian) tidaklah diperlukan. Dengan kata lain, persyaratan suatu himpunan R disebut sebagai ring adalah R merupakan semigrup. Sedangkan, di halaman wikipedia ini menyebutkan kalau aksioma tersebut diperlukan (himpunan R merupakan monoid terhadap operasi perkalian).

Yang ingin gw tanyakan adalah, definisi Ring itu perlu elemen satuan (kalau dalam bilangan riil, angka 1) atau tidak perlu? The Winter Lettuce (bicara) 16 Desember 2022 20.32 (UTC)

@The Winter Lettuce Hmm, mohon maaf, sejujurnya saya tidak ahli di bidang aljabar abstrak. Agar netral, saya izin memanggil kepada @Kekavigi untuk permasalahan terkait ini. Mohon bersabar, bung. Dedhert.Jr (bicara) 17 Desember 2022 05.19 (UTC)

Waduh... walau saya mahasiswa matematika, saya tidak mengambil mata kuliah Struktur Aljabar (atau sejenisnya). Dari hasil diskusi dengan beberapa teman, gelanggang tidak harus memiliki elemen satuan. Tapi kalau mensyaratkan harus memiliki, umumnya disampaikan sebagai "gelanggang dengan unsur kesatuan" atau semacamnya (kecuali jelas dari konteks pembahasan). Keambiguan ini sepertinya muncul karena beberapa penulis/matematikawan (dari dulu) kesulitan untuk sepakat definisi gelanggang seperti apa yang lebih bagus. Karena keambiguan ini, dan mungkin juga karena menulis "gelanggang dengan unsur kesatuan" secara berulang tidak ekonomis, sebagian orang menyebut secara spesifik gelanggang macam apa yang mereka maksud:

• unital ring, yakni gelanggang yang mengasumsikan elemen kesatuan
• non-unital ring, juga disebut pseudo-ring atau en:Rng_(algebra), yakni gelanggang yang tidak mengasumsikan elemen kesatuan.

Kalau ke konteks halaman artikel ini, sepertinya menambahkan kalimat "artikel ini mengasumsikan gelanggang memiliki elemen kesatuan" sepertinya sudah cukup untuk menyelesaikan masalah. Ya, walau juga ada yang perlu mengecek konsistensi penggunaan istilah dari awal sampai akhir :D. Salam, kekavigi (bicara) 22 Desember 2022 12.46 (UTC)