Kata pembanding Lebih Besar dalam matematikaSunting

Konsep 'lebih besar' antara dua bilangan cacah gampang dimengerti oleh seorang awam, bahkan oleh seorang anak kecil sekalipun. Tetapi banyak yang tidak mengetahui atau pernah mendengar salah satu definisi dari konsep 'lebih besar' ini.

Berikut adalah sebuah ilustrasi pendefinisiam konsep 'lebih besar' antara dua bilangan cacah secara matematis.

Proses Deduktif Membuat DefinisiSunting

Dalam matematika suatu definisi baru seringkali berpedoman dari satu atau lebih definisi-definisi atau dalil-dalil (teorema-teorema) yang sudah ada dan sudah terdefinisi (atau sudah terbukti) lebih dulu. Misalnya pendefinisian kata 'lebih besar' bisa diturunkan dari definisi-definisi lama, misalnya dari definisi 'himpunan', dari definisi 'himpunan tak hingga', dari definisi 'himpunan terurut' (ordered set). dsb.

Perlu diketahui bahwa dalam bahasa sehari-hari, penggunaan 'lebih besar' agak rancu. Misalnya dalam kalimat

"Badan si A lebih besar dari badan si B"

dua hal yg dibandingkan oleh kata 'lebih besar' tidak jelas. Mungkin mayoritas pembaca akan mengira bahwa kata 'lebih besar' dalam kalimat di atas digunakan untuk membandingkan antara besar atau berat dua benda padat (badan orang). Padahal yang dibandingkan adalah bilangan yang menyatakan berat atau besar badan si A dan si B.

Untuk menghindari definisi matematis formal yg terlalu mendalam (yg memerlukan konsep pemetaan atau fungsi, khususnya konsep isomorfisma antara dua himpunan yg berukuran sama), di sini diberikan penjelasan secara gampang dan seringkas mungkin bagaimana kata 'lebih besar' sebagai pembanding dua bilangan cacah didefinisikan secara deduktif, diawali dari pendefinisian bilangan cacah.

Definisi Bilangan Cacah Yang Berbasis Definisi Himpunan HinggaSunting

Karena definisi ini dibangun melalui teori himpunan, maka harus diasumsikan lebih dahulu keberadaan himpunan hingga (Inggris: finite set) dan berlakunya berbagai konsep lain yang menyertainya, misalnya konsep himpunan bagian (Inggris: subset), konsep inklusi antara dua himpunan, dsb.

Suatu bilangan cacah bisa didefinisikan oleh suatu kelas ekuivalensi berisi sekumpulan himpunan-himpunan yang berhingga dan yang berukuran sama. Pada khususnya kelas ekuivalensi yg memuat himpunan kosong menyatakan bilangan nol dan para matematikawan di dunia sepakat untuk menulis bilangan cacah ini dengan lambang

                         0.

Sedangkan kelas ekuivalensi yg memuat kedua himpunan

                     {a, x, y} 

dan himpunan

               {ayam, bebek, kecoa}

mendefinisikan sebuah bilangan cacah yang biasanya secara tertulis diberi lambang

                         3. 

Kedua himpunan {a, x, y} dan {ayam, bebek, kecoa} yang mewakili kelas ekuivalensi tersebut kita katakan berukuran 3.

Definisi 'Lebih Besar' Yang Berbasis Himpunan Bilangan CacahSunting

Bilangan cacah b didefinisikan lebih besar dari bilangan cacah a jika ada himpunan A yg berukuran a dan himpunan B yg berukuran b sedemkikan rupa sehingga A termuat dalam B. Perhatikan, kata 'termuat' sebenarnya harus didefinisikan dengan menggunakan relasi inklusi.

Untuk setiap pasang bilangan cacah a dan b yg berbeda, a dikatakan lebih kecil dari b jika dan hanya jika b lebih besar daripada a. Karena himpunan kosong termuat dalam setiap himpunan lain, maka 0 lebih kecil dari bilangan cacah lainnya.

Definisi lebih besar atau lebih kecil untuk jenis bilangan-bilangan lain yang bukan bilangan cacah memerlukan pengetahuan matematika yg cukup mendalam.