Konjektur jumlah pangkat Euler

Konjektur Euler adalah konjektur yang dibantahkan dalam matematika yang berkaitan dengan Teorema Terakhir Fermat. Konjektur ini diusulkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1769. Konjektur ini menyatakan bahwa, untuk semua bilangan bulat n dan k lebih besar dari 1, jika jumlah dari n banyaknya bilangan bulat positif pangkat k adalah bilangan pangkat k itu sendiri, maka n lebih besar atau sama dengan k.

$$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}\Longrightarrow n\geq k.$$

Konjektur ini merepresentasikan percobaan untuk memperumum Teorema Terakhir Fermat, yang merupakan kasus spesial ketika n = 2: jika a k
1  + a k
2  = b^k, maka 2 ≥ k.

Walaupun konjektur ini berlaku untuk kasus k = 3 (yang diikuti dari Teorema Terakhir Fermat untuk bilangan pangkat tiga), konjektur untuk kasus k = 4 dan k = 5 dibantahkan. Masih belum diketahui apakah konjektur ini gagal atau berlaku untuk setiap k ≥ 6.

Latar belakang

Euler mengetahui persamaan 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴ yang melibatkan penjumlaham dari empat bilangan pangkat empat. Akan tetapi, persamaan ini bukanlah contoh penyangkal karena tidak ada suku yang sendirian di suatu ruas persamaan. Ia pula menyediakan solusi lengkap untuk masalah empat bilangan pangkat tiga, yaitu bilangan Plato 3³ + 4³ + 5³ = 6³ atau bilangan taksi 1729. Solusi umum untuk persamaan

$$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}$$

adalah

$${\begin{aligned}x_{1}&=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})\\x_{2}&=(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1\\x_{3}&=(a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}\\x_{4}&=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)\end{aligned}}$$

dengan a dan b adalah bilangan bulat.