Rumus Vieta: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 11:
== Rumus Vieta dalam [[Persamaan Kuadrat]] ==
[[Berkas:Excel quadratic error.PNG|thumb|350px|Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Perkiraan Vieta tidak akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} tetapi akurat untuk ukuran besar {{math|''b''}}. Evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} dengan akar dari nilai yang sebanding tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi yang besar {{math|''b''}} dan akar berjarak lebar. Perbedaan antara perkiraan Vieta ''versus'' penghitungan langsung mencapai minimum pada titik-titik besar, dan pembulatan menyebabkan coretan di kurva melebihi minimum ini.|alt=Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil x kuadrat plus b x plus c sama dengan nol dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Selisihnya diplot sebagai fungsi dari b untuk dua nilai c yang berbeda, c sama dengan 4, dan c sama dengan 400.000. Grafik adalah grafik log log, dengan sumbu vertikal, perbedaannya, mulai dari sepuluh hingga. Sumbu horizontal, b, berkisar dari 10 di kiri hingga sepuluh hingga kedelapan di kanan. Pendekatan Vieta untuk akar yang lebih kecil tidak akurat untuk b kecil tetapi akurat untuk b besar. Evaluasi langsung dari akar yang lebih kecil menggunakan rumus kuadrat akurat untuk b kecil dengan nilai akar yang sebanding, tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi untuk b besar dan spasi lebar. Ketika c sama dengan 4, pendekatan Vieta dimulai dengan buruk di sebelah kiri, tetapi menjadi lebih baik dengan b yang lebih besar, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada perkiraan. Perkiraan Vieta dan rumus kuadrat kemudian mulai divergen lagi karena rumus kuadrat mengalami error loss of signifikan. Jika c sama dengan empat ratus ribu, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada kira-kira b sama dengan sepuluh pangkat tujuh. Kedua kurva tersebut lurus ke kiri minimum, menunjukkan hubungan kekuatan monomial sederhana antara selisih dan b. Demikian juga, kedua kurva tersebut kira-kira lurus ke kanan minimum, yang menunjukkan hubungan kekuatan, kecuali bahwa garis lurus memiliki coretan di dalamnya karena hilangnya signifikansi]]
Rumus Vieta memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:
:<math> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} </math>
dan
:<math> x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math>
Hasil ini langsung mengikuti dari relasi:
:<math>\left( x - x_1 \right) \left( x-x_2 \right ) = x^2 - \left( x_1+x_2 \right)x +x_1 x_2 = 0,</math>
which can be compared term by term with
:<math> x^2 + (b/a)x +c/a = 0.</math>
Rumus pertama di atas menghasilkan ekspresi yang sesuai saat membuat grafik fungsi kuadrat. Karena grafiknya simetris terhadap garis vertikal melalui [[Fungsi kuadrat#Puncak|simpul]], ketika ada dua akar nyata, koordinat {{math|''x''}} titik koordinat terletak di av. Jadi {{math|''x''}} koordinat dari simpul diberikan oleh ekspresi
:<math> x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = -\frac{b}{2a}.</math>
{{math|''y''}} koordinat dapat diperoleh dengan mensubstitusi hasil di atas ke dalam persamaan kuadrat yang diberikan, memberikan
:<math>
Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan akar kuadrat dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila {{math|{{!}} ''x'' <sub>2</sub>{{!}} << {{!}} ''x'' <sub>1</sub>{{!}}}}, maka {{math|''x'' <sub>1</sub> + ''x'' <sub>2</sub> ≈ ''x'' <sub>1</sub>}}, dan kami memiliki perkiraan:
▲:<math>r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}.\ _\square</math></blockquote>
:<math> x_1 \approx -\frac{b}{a} .</math>
Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:
:<math>x_2 = \frac{c}{a x_1} \approx -\frac{c}{b} .</math>
Rumus-rumus ini jauh lebih mudah untuk dievaluasi daripada rumus kuadrat dengan syarat satu akar besar dan satu akar kecil, karena rumus kuadrat mengevaluasi akar kecil sebagai selisih {{math|''b''}}), yang menyebabkan [[kesalahan pembulatan]] dalam evaluasi numerik. Gambar 5 menunjukkan perbedaan antara (i) evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat (akurat ketika akar memiliki nilai yang berdekatan) dan (ii) evaluasi berdasarkan perkiraan rumus Vieta di atas (akurat ketika akar berjarak lebar). Sebagai koefisien linear {{math|''b''}} meningkat, awalnya rumus kuadrat akurat, dan rumus perkiraan meningkatkan keakuratannya, yang mengarah ke perbedaan yang lebih kecil antara metode sebagai {{math|''b''}} meningkat. Namun, pada titik tertentu rumus kuadrat mulai kehilangan akurasinya karena kesalahan pembulatan, sedangkan metode perkiraan terus ditingkatkan. Akibatnya, perbedaan antara metode-metode tersebut mulai meningkat karena rumus kuadrat menjadi semakin buruk.
Situasi ini umumnya muncul dalam desain amplifier, di mana akar yang terpisah jauh diinginkan untuk memastikan operasi yang stabil (lihat [[respons langkah]]).
Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.
| |||