Induksi-epsilon

sebuah ragam induksi transfinit
(Dialihkan dari Induksi-∈)

Dalam matematika, induksi- (induksi-epsilon atau induksi-himpunan) merupakan sebuah ragam induksi transfinit.

Dianggap sebagai sebuah skema aksioma teori himpunan alternatif, ini disebut Aksioma (skema) induksi (himpunan)

Ini dapat digunakan dalam teori himpunan untuk membuktikan bahwa semua himpunan memenuhi sebuah sifat yang diberikan. Ini merupakan sebuah kasus khusus mengenai induksi cukup beralasan.

Pernyataan

sunting

Ini menyatakan, untuk suatu sifat  , bahwa untuk setiap himpunan  , kebenaran   mengikuti dari kebenaran   untuk semua unsur  , maka sifat   ini berlaku untuk semua himpunan. Dalam simbol:

 

Perhatikan bahwa untuk "kasus bawah" dimana   melambangkan himpunan kosong,  .   adalah kebenaran hampa.

Perbandingan dengan induksi bilangan asli

sunting

Di atas dapat dibandingkan dengan induksi-  atas bilangan asli   untuk sifat-sifat bilangan  . Ini dapat diungkapkan sebagai

 

Memperkenalkan beberapa konvensi untuk karena pencerminan Induksi Himpunan, ini dapat diutlis sebagai

 

dimana untuk "kasus bawah"   kita ambil " " menjadi benar oleh definisi. Perhatikan bahwa induksi-himpunan dapat juga diperlakukan dalam sebuah cara yang memperlakukan kasus bawah dengan eksplisit.

Dengan tautologi klasik seperti  , prinsip induksi-  di atas dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut:

 

Ini mengungkapkan bahwa, untuk suatu sifat  , baik terdapat suatu bilangan (pertama)   yang mana   tidak berlaku, meskipun   berlaku untuk kasus sebelumnya, atau - jika tidak ada seperti kasus palsu -   adalah benar untuk semua bilangan.

Demikian, dalam teori Zermelo–Fraenkel klasik, induksi-himpunan dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut, menjelaskan bentuk apa mengenai contoh berlawanan mencegah sebuah sifat himpunan   berlaku untuk semua himpunan:

 

Ekspresi ini bahwa, untuk suatu sifat  , baik ada sebuah himpunan   yang mana   tidak berlaku sementara   menjadi benar untuk semua unsur  , atau   berlaku untuk semua himpunan.

Untuk suatu sifat, jika salah satu dapat membuktikan bahwa  .   menyiratkan  , maka kasus palsu dikesampingkan dan rumusnya menyatakan bahwa   terpisah harus berlaku.

Kebebasan

sunting

Dalam konteks dari konstruksi Zermelo–Fraenkel teori himpunan konstruktif, mengutip Aksioma keteraturan akan menyiratkan kaidah menengah terkecuali dan juga induksi himpunan. Tapi kemudian hasil teorinya akan menjadi teori himpunan Zermelo–Fraenkel standar. Namun, sebaliknya, induksi himpunan menyiratkan baik bukan dari dua. Dengan kata lain, dengan sebuah kerangka logika konstruktif, induksi himpunan seperti yang dinyatakan di atas lebih lemah sempurna daripada keteraturan.

Lihat pula

sunting